Teorema de Cayley-Hamilton: Demostración y Cálculo de la Matriz Inversa

Teorema de Cayley-Hamilton

Si A es una matriz cuadrada de orden n y si p(λ) = det(A - λI_n) = c₀ + c₁λ + c₂λ² + ... + c_nλⁿ es su polinomio característico, se cumple la identidad:

c₀I + c₁A + c₂A² + ... + c_nAⁿ = 0_n

Demostración del Teorema

Toda matriz cuadrada multiplicada por su adjunta es igual al determinante de la matriz por la identidad. Aplicando esto a la matriz característica de A:

(A - λI_n) · Adj(A - λI_n) = det(A - λI_n) · I_n

Dado que los elementos de la matriz Adj(A - λI_n) son polinomios en la variable λ de grado a lo sumo n-1, podemos escribir:

Adj(A - λI_n) = B₀ + B₁λ + B₂λ² + ... + B_n-1λ^n-1

Por lo tanto, tenemos la siguiente igualdad:

(A - λI_n) · (B₀ + B₁λ + B₂λ² + ... + B_n-1λ^n-1) = (c₀ + c₁λ + c₂λ² + ... + c_nλⁿ) · I_n

Identificación de coeficientes

Identificando los coeficientes matriciales de las potencias de λ del primer miembro con los correspondientes del segundo, obtenemos:

• AB₀ = c₀I_n
• AB₁ - B₀ = c₁I_n
• AB₂ - B₁ = c₂I_n
• ...
• AB_n-1 - B_n-2 = c_n-1I_n
• -B_n-1 = c_nI_n

Multiplicando miembro a miembro por la izquierda la primera identidad por A⁰, la segunda por A¹, la tercera por A² y así sucesivamente hasta la última por Aⁿ, obtenemos nuevas identidades:

• AB₀ = c₀I_n
• A²B₁ - AB₀ = c₁A
• A³B₂ - A²B₁ = c₂A²
• ...
• AⁿB_n-1 - A^n-1B_n-2 = c_n-1A^n-1
• -AⁿB_n-1 = c_nAⁿ

Sumando todas las expresiones, los términos del primer miembro se cancelan telescópicamente y se obtiene:

0_n = c₀I + c₁A + c₂A² + ... + c_nAⁿ

Obtención de la Matriz Inversa

Se puede utilizar el resultado de Cayley-Hamilton para invertir una matriz regular. Sea A una matriz cuadrada de orden n que tiene inversa. Si el polinomio característico de A es c₀ + c₁λ + c₂λ² + ... + c_nλⁿ, debe cumplirse que c₀ ≠ 0, pues el término independiente es el determinante de A.

Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton:

c₀I + c₁A + c₂A² + ... + c_nAⁿ = 0_n

Multiplicando miembro a miembro esta expresión por A^-1, llegamos a:

c₀A^-1 + c₁I_n + c₂A + c₃A² + ... + c_nA^n-1 = 0_n

Despejando A^-1:

A^-1 = -1/c₀ · (c₁I_n + c₂A + c₃A² + ... + c_nA^n-1)