Técnicas de Suavizado y Diferenciación en Series Temporales

Ejercicios sobre Series Temporales y Filtros

Ejercicio 4.75: Prueba de Independencia de Valores

Para una muestra de n=75 y un nivel de significancia α=0.05, se calcula el intervalo de confianza utilizando la fórmula 2/√n.

• Cálculo: 2/√75 ≈ 0.231
• Intervalo de confianza: (-0.231, 0.231)

Al observar que todos los datos se encuentran dentro de este intervalo, no se descarta la hipótesis de que los valores son independientes.

Sin embargo, si se duplica la cantidad de datos (n=150), el proceso análogo resulta en un nuevo intervalo:

• Cálculo: 2/√150 ≈ 0.163
• Nuevo intervalo: (-0.163, 0.163)

En este caso, 3 datos quedan fuera del intervalo. Este número es suficientemente significativo para el valor de α establecido, lo que nos lleva a concluir que los valores sí son dependientes.

Ejercicio 8: Efecto del Operador Diferencia en Polinomios

Sea m_t un polinomio de grado p para t = 0, ±1, ...

El operador diferencia (∇) se define como: ∇m_t = (1-B)m_t = m_t - m_t-1.

Si m_t = Σ C_kt^k (desde k=0 hasta p), entonces:

∇m_t = Σ C_kt^k - Σ C_k(t-1)^k = C_k Σ [t^k - (t-1)^k]

Para cada sumando, el término de mayor potencia es de grado k-1. Por lo tanto, el grado máximo del polinomio resultante es p-1. Cada aplicación del operador diferencia reduce el grado del polinomio en una unidad.

• Aplicar ∇ una vez: grado p-1.
• Aplicar ∇ dos veces: grado p-2.
• Aplicar ∇ p veces: grado 0 (una constante).
• Aplicar ∇ p+1 veces: el resultado es 0.

Por lo tanto, se demuestra que ∇^p+1m_t = 0.

Ejercicio 10: Propiedades de la Media Móvil de Spencer

La media móvil de Spencer es un filtro simétrico donde se cumple que Σ a_i = 1 (para i de -7 a 7). Se busca demostrar que reproduce un polinomio de grado 3.

Sea m_t = C₀ + C₁t + C₂t² + C₃t³. Al aplicar el filtro:

Σ a_im_t+i = Σ a_i(C₀ + C₁(t+i) + C₂(t+i)² + C₃(t+i)³)

Desarrollando los términos:

• Para C₀: C₀ Σ a_i = C₀
• Para C₁: C₁ Σ a_i(t+i) = C₁(t Σ a_i + Σ a_ii) = C₁t, ya que Σ a_ii = 0 por simetría.
• Para C₂: C₂ Σ a_i(t+i)² = C₂(t² Σ a_i + 2t Σ a_ii + Σ a_ii²) = C₂t², ya que Σ a_ii = 0 y para Spencer, Σ a_ii² = 0.
• Para C₃: C₃ Σ a_i(t+i)³ = C₃(t³ Σ a_i + 3t² Σ a_ii + 3t Σ a_ii² + Σ a_ii³) = C₃t³, ya que los sumatorios con potencias impares de i son cero por simetría.

Los términos con potencias impares de i (Σ a_ii, Σ a_ii³) se anulan porque los coeficientes a_i son simétricos respecto a cero.

Ejercicio 11: Reproducción de Polinomios de Grado 2

Supongamos que m_t = c₀ + c₁t + c₂t². Se analiza si ciertos filtros reproducen este polinomio.

Filtro A (i de -2 a 2)

Σ a_i(c₀ + c₁(t+i) + c₂(t+i)²) = Σ a_i(c₀+c₁t+c₂t²) + Σ i·a_i(c₁+2c₂t) + Σ i²·a_i·c₂

Para que el resultado sea m_t, se debe cumplir que Σ i·a_i = 0 (se cumple por simetría) y Σ i²·a_i = 0.

Cálculo: Σ i²·a_i = 4(-3/35) + 1(12/35) + 0(17/35) + 1(12/35) + 4(-3/35) = (-12+12+0+12-12)/35 = 0.

Filtro B (i de -3 a 3)

De forma análoga, se debe cumplir que Σ i·b_i = 0 (se cumple por simetría) y Σ i²·b_i = 0.

Cálculo: Σ i²·b_i = 9(-2/21) + 4(3/21) + 1(6/21) + 0(7/21) + 1(6/21) + 4(3/21) + 9(-2/21) = (-18+12+6+0+6+12-18)/21 = 0.

Ejercicio 13: Operadores de Diferenciación Estacional

Se define el operador ∇∇₁₂X_t = (1-B)(1-B¹²)X_t.

La serie X_t se descompone en: X_t = a + bt + S_t + Y_t, donde a+bt es la tendencia determinista, S_t es la componente estacional de periodo 12, y Y_t es un proceso estocástico (Y_t = a_t - 0.5a_t-1 - 0.7a_t-12, con {a_t} como ruido blanco).

Al aplicar el operador ∇∇₁₂ a la componente estacional S_t:

∇∇₁₂S_t = (1-B-B¹²+B¹³)S_t = S_t - S_t-1 - S_t-12 + S_t-13

Debido a que la estacionalidad tiene periodo 12, S_t = S_t-12 y S_t-1 = S_t-13. Por lo tanto, ∇∇₁₂S_t = 0. El operador también elimina la tendencia lineal a+bt.

Entonces, se demuestra que ∇∇₁₂X_t = ∇∇₁₂Y_t.

Sea Z_t = ∇∇₁₂X_t. Se analiza si Z_t es estacionaria:

• Esperanza: E(Z_t) = 0.
• Varianza: Var(Z_t) es constante, ya que los términos de Y_t están incorrelacionados.
• Autocovarianza: γ_z(k) = Cov(Y_t-Y_t-1-Y_t-12+Y_t-13, Y_t+h-Y_t+h-1-Y_t+h-12+Y_t+h-13). El resultado depende únicamente del retardo k, no del tiempo t.

Por lo tanto, el proceso Z_t es estacionario.

Conceptos y Diseño de Filtros

¿Qué son las Medias Móviles Simétricas?

Las medias móviles simétricas son filtros lineales que transforman una serie {X_t} en otra serie {Y_t}. Sus propiedades clave son:

• Fórmula: Y_t = Σ a_iX_t+i (desde i=-q hasta q).
• Simetría de coeficientes: a_i = a_-i.
• Suma de coeficientes: Σ a_i = 1.

Se utilizan principalmente para desestacionalizar la serie y realizar una estimación de la tendencia, lo cual es fundamental en la descomposición clásica para obtener los índices estacionales.

Ejercicio 11 (Complementario): Diseño de un Filtro Simétrico

Se busca diseñar un filtro para una serie X_t = a₀ + b₁t + S_t, donde S_t tiene un periodo de 3 (S_t = S_t±3 = S_t±6, ...).

Primer Filtro: Estimación de la Tendencia (M_t)

El filtro debe cumplir las siguientes condiciones para eliminar la estacionalidad y reproducir la tendencia lineal:

1. Σ a_i = 1
2. Σ a_i·i = 0 (se cumple al ser simétrico).
3. Σ a_i·S_t+i = 0

Para un filtro de 5 términos (i de -2 a 2), la tercera condición se convierte en:

a_-2S_t-2 + a_-1S_t-1 + a₀S_t + a₁S_t+1 + a₂S_t+2 = 0

Usando la simetría (a_i=a_-i) y la periodicidad (S_t-1=S_t+2, S_t-2=S_t+1), se obtiene: a₀S_t + (a₁+a₂)S_t+1 + (a₁+a₂)S_t+2 = 0. Para que se cumpla, se necesita que a₀ = a₁+a₂.

Resolviendo el sistema con la primera condición (2a₂+2a₁+a₀=1), se obtiene: 3a₁+3a₂=1, de donde a₁+a₂ = 1/3. Por lo tanto, a₀ = 1/3. Si hacemos a₂=α, entonces a₁=1/3-α, con α ∈ ℝ.

Segundo Filtro: Estimación del Residuo (res(X_t))

Este filtro se define como res(X_t) = X_t - M_t = Σ b_iX_t+i, donde los coeficientes son b₀ = 1-a₀ y b_i = -a_i para i≠0.

Las condiciones que debe cumplir son:

1. Σ b_i = 0 (se cumple por definición).
2. Σ b_i·i = 0 (se cumple por simetría).
3. Σ b_i·S_t+i = S_t

Verificando la tercera condición:

b₀S_t + (b₁+b₂)(S_t+1+S_t+2) = (2/3)S_t + (-a₁-a₂)(-S_t) = (2/3)S_t + (-1/3)(-S_t) = (2/3)S_t + (1/3)S_t = S_t.

Los coeficientes son: b₀=2/3, b₁=α-1/3, b₂=-α.