Técnicas Esenciales de Integración: Funciones Trigonométricas, Hiperbólicas e Irracionales

Integrales Trigonométricas

Integrales Racionales de Funciones Trigonométricas: ∫R[sen(x), cos(x)] dx

• Caso 1: Impar en el seno. Si la función es impar respecto a sen(x) (es decir, R(-sen(x), cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = cos(x).
• Caso 2: Impar en el coseno. Si la función es impar respecto a cos(x) (es decir, R(sen(x), -cos(x)) = -R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = sen(x).
• Caso 3: Par en ambos. Si la función es par respecto a sen(x) y cos(x) (es decir, R(-sen(x), -cos(x)) = R(sen(x), cos(x))), se realiza la sustitución: t = tan(x). En este caso, dx = dt/(1+t²).
• Caso 4: Cambio General (Universal). Para cualquier función racional de sen(x) y cos(x), se puede utilizar la sustitución: t = tan(x/2). En este caso, sen(x) = 2t/(1+t²), cos(x) = (1-t²)/(1+t²) y dx = 2dt/(1+t²).

Integrales con Ángulo Múltiple

Para integrales de la forma ∫sen(m·x)·cos(n·x) dx, ∫sen(m·x)·sen(n·x) dx o ∫cos(m·x)·cos(n·x) dx, se utilizan las identidades de producto a suma:

• ∫sen(m·x)·cos(n·x) dx: Aplicar sen(A)cos(B) = ½[sen(A+B) + sen(A-B)].
• ∫sen(m·x)·sen(n·x) dx: Aplicar sen(A)sen(B) = ½[cos(A-B) - cos(A+B)].
• ∫cos(m·x)·cos(n·x) dx: Aplicar cos(A)cos(B) = ½[cos(A-B) + cos(A+B)].

Integrales de Seno y Coseno Elevados a la n

• Para ∫sen&supn;(x) dx:
  • Si n es par: Usar la identidad sen²(a) = ½(1 - cos(2a)).
  • Si n es impar: Sustituir t = cos(x).
• Para ∫cos&supn;(x) dx:
  • Si n es par: Usar la identidad cos²(a) = ½(1 + cos(2a)).
  • Si n es impar: Sustituir t = sen(x).
• Para ∫sen&supn;(x)·cos&supn;(x) dx:
  • Si n es impar: Sustituir t = tan(x).
  • Si n es par: Usar la identidad sen(a)·cos(a) = sen(2a)/2.
  • Método General: Si n es par, se puede considerar el desarrollo complejo.

Integrales de Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante Elevadas a la n

Se utilizan las identidades pitagóricas para reducir el grado o transformar la integral:

• 1 + tan²(x) = sec²(x) → tan²(x) = sec²(x) - 1
• 1 + cotan²(x) = cosec²(x) → cotan²(x) = cosec²(x) - 1

Estas integrales suelen transformarse en integrales de tipo potencial o logarítmico.

Integrales Hiperbólicas

Integrales Racionales de Funciones Hiperbólicas: ∫R[senh(x), cosh(x)] dx

• Caso 1: Impar en el senh. Si la función es impar respecto a senh(x), se realiza la sustitución: t = cosh(x).
• Caso 2: Impar en el cosh. Si la función es impar respecto a cosh(x), se realiza la sustitución: t = senh(x).
• Caso 3: Par en ambos. Si la función es par respecto a senh(x) y cosh(x), se realiza la sustitución: t = tanh(x). En este caso, dx = dt/(1-t²).
• Caso 4: Cambio General (Universal). Para cualquier función racional de senh(x) y cosh(x), se puede utilizar la sustitución: t = tanh(x/2). En este caso, senh(x) = 2t/(1-t²), cosh(x) = (1+t²)/(1-t²) y dx = 2dt/(1-t²).

Integrales de Seno Hiperbólico y Coseno Hiperbólico Elevados a la n

• Para ∫senh&supn;(x) dx: Si n es par, usar la identidad senh²(a) = ½(cosh(2a) - 1).
• Para ∫cosh&supn;(x) dx: Si n es par, usar la identidad cosh²(a) = ½(1 + cosh(2a)).
• Para ∫senh&supn;(x)·cosh&supn;(x) dx: Si n es par, usar la identidad senh(2a) = 2senh(a)·cosh(a).

Integrales de Tangente Hiperbólica, Cotangente Hiperbólica, Secante Hiperbólica y Cosecante Hiperbólica Elevadas a la n

Se utilizan las identidades fundamentales para reducir el grado o transformar la integral:

• 1 - tanh²(x) = sech²(x)
• cotanh²(x) - 1 = cosech²(x)

Integrales de Funciones Irracionales

Integrales de la Forma ∫R(x, (a² ± b²x²)^r) dx

Para integrales que contienen expresiones de la forma √(a² ± b²x²) o √(b²x² ± a²), se utilizan sustituciones trigonométricas o hiperbólicas según el caso:

• Si el radical es de la forma √(a² - b²x²): Sustitución bx = a sen(θ).
• Si el radical es de la forma √(a² + b²x²): Sustitución bx = a tan(θ) o bx = a senh(t).
• Si el radical es de la forma √(b²x² - a²): Sustitución bx = a sec(θ) o bx = a cosh(t).

Nota: Estas sustituciones son aplicables cuando r = 1/2. Para otros valores de r, el método puede variar.

Integrales con Potencias Fraccionarias de x o de Expresiones Lineales

• Tipo ∫R(x, x^p/q, x^r/s, ..., x^u/v) dx:

  Se realiza la sustitución x = t^k, donde k es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de los exponentes fraccionarios (q, s, v, ...).

• Tipo ∫R(x, (a+bx)^p/q, (a+bx)^r/s, ..., (a+bx)^u/v) dx:

  Se realiza la sustitución a+bx = t^k, donde k es el m.c.m. de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

• Tipo ∫R(x, ((a+bx)/(cx+d))^p/q, ((a+bx)/(cx+d))^r/s, ..., ((a+bx)/(cx+d))^u/v) dx:

  Se realiza la sustitución (a+bx)/(cx+d) = t^k, donde k es el m.c.m. de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

Integrales Binomias: ∫x^m(axⁿ ± b)^p dx

Estas integrales son integrables en términos de funciones elementales si al menos una de las siguientes condiciones de Chebyshev se cumple:

• Caso 1: p es un número entero. Se expande el binomio usando el Teorema del Binomio de Newton.
• Caso 2: (m+1)/n es un número entero. Se realiza la sustitución t = xⁿ.
• Caso 3: (m+1)/n + p es un número entero. Se realiza la sustitución t^k = axⁿ ± b, donde k es el denominador de p si p es una fracción.

Nota: Las condiciones y sustituciones han sido clarificadas según las condiciones de Chebyshev para la integrabilidad de las integrales binomias.