Técnicas de aproximación numérica: interpolación polinómica, mínimos cuadrados y minimax

Aproximación

El proceso y la consecuencia de aproximar: avecinar, arrimar o acercar. El concepto suele emplearse para nombrar la obtención de un resultado que, si bien no es exacto, resulta próximo a la exactitud.

La aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil. Esta aproximación nunca se utiliza en ciencias exactas a nivel profesional debido a la pérdida de información.

Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, las figuras geométricas o las leyes físicas.

En casos de información incompleta, que impide el uso de representaciones exactas, pueden usarse aproximaciones. Por otra parte, existen problemas que son demasiado complejos para resolverse analíticamente o bien imposibles de resolver con las herramientas disponibles. En estos casos, una aproximación puede arrojar una solución suficientemente exacta, reduciendo significativamente la complejidad del problema y el coste de su solución.

Interpolación polinómica (o polinomial)

Es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento, se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

En análisis numérico, la interpolación polinómica (o polinomial) es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento, se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.

El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita obtener aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.

Regresión con mínimos cuadrados

Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados —variable independiente, variable dependiente— y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Minimax

En teoría de juegos, minimax es un método de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada en juegos con adversario y con información perfecta. Minimax es un algoritmo recursivo.

El funcionamiento de minimax puede resumirse en cómo elegir el mejor movimiento para ti suponiendo que tu contrincante escogerá el peor para ti.

Conceptos clave

• Minimizar: reducir la pérdida o el error total.
• Máxima: se considera la peor pérdida posible que puede ocasionar el adversario.
• Algoritmo recursivo: evalúa decisiones en niveles alternos de jugadores (maximizador y minimizador).

Resumen práctico

Estas técnicas —interpolación polinómica, regresión por mínimos cuadrados y minimax— son herramientas fundamentales para obtener soluciones aproximadas cuando la resolución exacta es inviable o innecesaria. Cada una se aplica en contextos distintos: ajuste de datos experimentales, estimación de funciones desconocidas y toma de decisiones bajo adversarios respectivamente.