Talkak eta Solido Zurrunaren Dinamika: Oinarrizko Kontzeptuak

Talkak: Partikulen Elkarrekintza

Bi partikula elkarri hurbiltzen direnean, talka izan dezakete, bai kontaktu fisikoaz zein kontaktu fisikorik izan gabe ere, haien artean urrutiko indarrak baldin badaude. Baina talka guztietan (kontaktudunetan zein kontaktugabeetan), momentu eta energia-trukaketa gertatzen da; alegia, bi partikulen higidurak aldatu egiten dira bestearen eraginez.

Momentu Linealaren Kontserbazioa

Kanpo indar erresultantea nuloa bada ($F^{\text{kan}}=0$), alegia, barne indarra bakarrik baldin badago, orduan, sistemaren momentu lineal totala kontserbatu egiten da. Printzipioz talkaren iraupena oso laburra da, eta kanpo indarrek, egon arren, ez dute astirik tarte labur horretan sistemaren momentu lineala aldatzeko. Kasu horietan, sistema isolatutzat har daiteke ($F^{\text{kan}}=0$; $P=\text{kte}$), baina soilik talka gertatu den bitartean.

Adieraz ditzagun primarekin talkaren ondorengo momentu linealak eta primarik gabe talkaren aurreko momentu linealak:

$$p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2$$

Energia Zinetikoa eta Talka Motak

Kanpo indarrik ez badago, kanpo-indarren lana nulua izango da ($W^{\text{kan}}=0$), eta energiaren teorema ($W^{\text{kan}} + W^{\text{bar}} = \Delta E_z$) honela sinplifikatzen da:

$$W^{\text{bar}} = \Delta E_z$$

• Talka elastikoa: Sistemaren energia zinetikoa talkaren ondoren eta baino lehen berdina bada. Alegia, barne-indarraren lan totala nulua da ($Q=0$).
• Talka inelastikoa: Sistemaren energia zinetikoa talkaren eraginez aldatzen bada ($Q \neq 0$).
• Talka erabat inelastikoa (plastikoa): Partikula biak itsatsita geratzen direnean.

Talkan gertatzen den energia-aldaketa (barne-indarren lana) $Q$ faktore batez adierazi ohi da:

$$Q = \Delta E_z = E'_z - E_z = \frac{1}{2}m_1v'_1{}^2 + \frac{1}{2}m_2v'_2{}^2 - \left(\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\right)$$ (Talka elastikoa: $Q=0$; talka inelastikoa: $Q \neq 0$).

Talka Dimentsio Bakarrean

Dimentsio bakarreko talketan (aurrez-aurreko talkak), momentu linealaren kontserbazioa eta itzultze-koefizientea ($e$) erabiliz, kalkuluak errazten dira:

1. Momentu lineala: $m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = m_1v'_{1x} + m_2v'_{2x}$
2. Itzultze-koefizientea: $(v'_{2x} - v'_{1x}) = e(v_{2x} - v_{1x})$

Itzultze-koefizientea ($e$) orokorrean $0 \le e \le 1$ da. Talka erabat elastikoa bada $e=1$, eta inelastikoa bada $e \neq 1$. Erabat inelastikoa bada, $e=0$.

Partikula-Sistemaren Masa-Zentroa

Masa-Zentroaren Definizioa eta Higidura

Partikula-sistema baten masa-zentroa (MZ) batez besteko posizioa adierazten du, non sistemaren masa kokatuta dagoen.

Masa-Zentroaren Posizioa

Masa diskretua izanez gero:

$$\mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{k=1}^{N} m_k \mathbf{r}_k$$

Masa jarraitua izanez gero:

$$\mathbf{R} = \frac{1}{M} \int \mathbf{r} \, dm \quad \text{eta} \quad M = \int dm$$

Masa-Zentroaren Teorema

Sistemaren momentu lineal totala ($P$) eta MZaren abiadura ($V$) erlazionatuta daude:

$$\mathbf{P} = \sum \mathbf{p}_k = M \mathbf{V}$$

Momentu linealaren teorema berridatziz, MZaren azelerazioa ($A$) kanpo-indar erresultantearekin ($F^{\text{kan}}$) lotzen da:

$$\mathbf{F}^{\text{kan}} = \frac{d\mathbf{P}}{dt} = M \frac{d\mathbf{V}}{dt} = M \mathbf{A}$$

Hau masa-zentroaren teorema da. Partikula sistema baten masa-zentroa mugitzen da, partikula soil bat balitz bezala: bere masa, sistemaren masa totala da ($M$), eta kanpo-indar erresultantearen eraginpean dago.

Solido Zurrunaren Dinamika Ardatz Finkobaten Inguruan

Inertzia Momentua

Demagun solido batek biraketa-higidura duela, $Z$ ardatz finko baten inguruan. $dm$ masako elementu infinitesimalaren momentu angeluarraren $Z$ osagaia ($dL_{oz}$) honela lortzen da:

$$dL_{oz} = \omega \rho^2 dm$$

Solido zurrunaren momentu angeluar totalaren $Z$ osagaia ($L_z$) lortzeko integratuz, inertzia momentua ($I_z$) definitzen da:

$$L_z = I_z \omega$$

Non:

$$I_z = \int \rho^2 dm$$

Momentu Angeluarraren Teorema Ardatz Finkorako

Kanpo-indarren momentu erresultantearen ($M_z$) eta momentu angeluarraren ($L_z$) arteko erlazioa:

$$M_z = \frac{dL_z}{dt}$$

Solido zurrun batentzat ($I_z$ konstantea), ardatz finkoaren norabideko osagaia:

$$M_z = I_z \frac{d\omega}{dt} = I_z \alpha$$

Non $\alpha$ solidoaren azelerazio angeluarra den. Kanpo-indarren momentu erresultanteak ardatzaren norabidean osagairik ez badu ($M_z=0$), $I_z\omega$ konstante mantentzen da.

Errodadura-Higidura

Labainketarik Gabeko Errodadura

Solido zurrun baten errodadura-higiduran, translazioa eta biraketa konbinatzen dira. Errodadura gertatzen denean, solidoaren masa-zentroaren ($s$) eta errotazio angeluaren ($\phi$) arteko erlazioa:

$$s = r\phi$$

Non $r$ gorputzaren erradioa den. Honek dakar:

$$V = r\omega \quad \text{eta} \quad A = r\alpha$$

Indarren eta momentuen ekuazioak aplikatuz (adibidez, plano inklinatuan behera):

• Translazioa: $Mg\sin\theta - F_r = MA$
• Biraketa: $F_r r = I_z \alpha = I_z A/r$

Labainketarik gabe errodatzeko baldintza marruskadura-indar estatikoak ($F_r$) bere balio maximoa ez gainditzea da: $F_r \le \mu_s N$.

Labainketarekin Errodadura

Baldintza hori ez betetzen bada, gorputza labaindu egiten da. Kasu honetan:

1. $s \neq r\phi$ eta $A \neq r\alpha$. Azelerazio lineala eta angeluarra independenteak dira.
2. Marruskadura-indarra dinamikoa da eta bere balio maximoa hartzen du: $F_r = \mu_d N$.

Energia mekanikoaren galera gertatzen da marruskadura-indarrak lan negatiboa egiten duelako.