Subespacios Vectoriales y Transformaciones Lineales en Álgebra Lineal

Subespacios Vectoriales

• Un subconjunto V de un espacio vectorial Rⁿ es un subespacio vectorial (SEV) de Rⁿ si verifica que:

1. El vector 0 de Rⁿ está en V.
2. ∀ u, v ∈ V ⇒ u+v ∈ V.
3. ∀ u ∈ V y ∀ λ ∈ R ⇒ λu ∈ V

Teoremas sobre Subespacios Vectoriales

Teorema 2.1

La ecuación vectorial x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_qa_q = b es equivalente al sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a₁ a₂ . . . a_q | b ].

Teorema 2.2

(a) Dados los vectores v₁, v₂, . . . v_p de un subespacio vectorial V, el conjunto H = Gen{v₁, v₂, . . . , v_p} es un subespacio vectorial. (b) Además se verifica que H ⊆ V

Teorema 2.3

Sean A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] una matriz (m×n) y b un vector de R^m. La ecuación matricial Ax = b tiene las mismas soluciones que la ecuación vectorial x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_na_n = b que, a su vez, tiene la misma solución que el sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a₁ a₂ . . . a_n b ].

Teorema 2.4

La ecuación Ax = b tiene solución si y solo si b es una combinación lineal de las columnas de A.

Teorema 2.5

Sea la matriz A de dimensión (m × n). Las siguientes proposiciones son equivalentes:

• 1.- Ax = b tiene solución ∀ b ∈ R^m
• 2.- Las columnas de A generan R^m
• 3.- A tiene un pivote en todas las filas.

Demostración:

• 3 ⇒ 1. Si A tiene un elemento pivote en todas las filas, la matriz ampliada [ A b ] a la que le hemos añadido una columna no tendría pivote en la última columna (independientemente de b) y, por tanto, el sistema Ax = b sería consistente ∀ b.
• 1 ⇒ 3. A su vez, si el sistema Ax = b es consistente ∀ b, es decir si la matriz ampliada [ A b ] representa un sistema consistente independientemente de b, es porque A tiene necesariamente un pivote en la última fila y, por ende, en todas las filas.
• 1 ⇒ 2. Si el sistema Ax = b es consistente ∀ b, es porque cualquier vector b ∈ R^m es combinación lineal de las columnas de A. Es decir, las columnas de A, mediante combinaciones lineales, dan lugar a cualquier vector de R^m (generan R^m).
• 2 ⇒ 1. Si las columnas de A generan R^m, cualquier vector b ∈ R^m puede escribirse como combinación de las columnas de A. Por tanto, siempre podremos encontrar coeficientes para escribir b = x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_na_n. Es decir, Ax = b tendría solución ∀ b.

Teorema 2.6

El espacio de columnas de una matriz (m × n) es un subespacio vectorial de R^m.

Teorema 2.7

El espacio de filas de una matriz (m × n) es un subespacio vectorial de Rⁿ

Teorema 2.8

Si dos matrices A y B son equivalentes por filas, entonces (⇒) Fil A = Fil B

Teorema 2.9

El espacio nulo de una matriz (m × n) es un subespacio vectorial de Rⁿ.

Teorema 2.10

Los sistemas homogéneos son compatibles.

Demostración: • En un sistema homogéneo, la solución x = 0 se denomina solución trivial. Otras posibles soluciones del sistema se denominan no triviales.

Teorema 2.11

Un sistema homogéneo Ax = 0 presenta soluciones no triviales si y solo si tiene alguna variable libre.

Teorema 2.12

Sea p una solución particular de la ecuación Ax = b. El conjunto de soluciones de Ax = b puede escribirse como x = p + x_H, donde x_H representa cualquier solución de la ecuación homogénea Ax_H = 0.

Teorema 2.13

Sean las siguientes matrices (m × n), equivalentes por filas A = [ a₁ . . . a_n ] ∼ [ b₁ . . . b_n ] = B Si existen α₁, α₂, . . . α_n tales que α₁a₁ + α₂a₂ + · · · + α_na_n = 0 entonces se verifica que α₁b₁ + α₂b₂ + · · · + α_nb_n = 0

Teorema 2.14

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si ninguno de ellos es combinación lineal de los otros.

Teorema 2.15

Cualquier conjunto de vectores {v₁, v₂, . . . v_n} ⊆ R^m es linealmente dependiente si se verifica que n > m.

Teorema 2.16

Si S = {v₁, . . . , v_p} es un conjunto generador de V, entonces algún subconjunto de S es una base de V (excepto si V = {0}, que no tiene base).

Teorema 2.17

Si {v₁, . . . , v_p} es una base de V, se cumple que

• {v₁, . . . , v_p-1} es un conjunto linealmente independiente, pero no genera V.
• Si b ∈ V, entonces {v₁, . . . , v_p, b} genera V, pero no es un conjunto linealmente independiente.

Teorema 2.18

Todas las bases de un mismo subespacio vectorial V tienen el mismo número de vectores. Este número se llama dimensión de V y se denota dim V.

Teorema 2.19

Sea V un SEV de Rⁿ con dim V = p (≠ 0). Entonces:

• Cualquier conjunto linealmente independiente de p vectores de V forma una base de V.
• Cualquier conjunto de p vectores que genere V forma una base de V.

Teorema 2.20

Sea U una forma escalonada de A. Las filas no nulas de U formarán una base tanto de FilU como de Fil A.

Teorema 2.21

La dimensión de Col A y de Fil A es el número de pivotes de A.

Teorema 2.22

La dimensión del espacio nulo de una matriz A es el número de variables libres de la ecuación Ax = 0.

Teorema 2.23

El rango de una matriz (m × n) verifica: rango A + dim Nul A = n

Teorema 2.24

Sea B = {b₁, b₂, . . . b_p} una base de un SEV V de Rⁿ. Por cada x ∈ V existe un único conjunto de escalares c₁, c₂, . . . , c_p tales que x = c₁b₁ + c₂b₂ + · · · + c_pb_p. • A estos escalares se los denomina coordenadas de x en la base B y se denotan por el vector de R^p: [ x ]_B =      c₁ c₂ ... c_p     

Teorema 2.25

Un conjunto de vectores {v₁, · · · v_m} de un subespacio vectorial V de Rⁿ verifica x₁v₁ + x₂v₂ + · · · + x_mv_m = 0, si y solo si sus coordenadas verifican x₁[ v₁ ]_B + x₂[ v₂ ]_B + · · · + x_m[ v_m ]_B = [ 0 ]_B en cualquier base B de V

Transformaciones Lineales

Teorema 2.26

Sea la transformación lineal T : Rⁿ → R^m. Existe una única matriz A, llamada matriz canónica o estándar, tal que ∀ x ∈ Rⁿ T(x) = A x. Es más, A es la matriz (m × n) cuya columna j-ésima es el vector T(e_j) A = [ T(e₁) T(e₂) . . . T(e_n) ] donde {e₁, e₂, · · · e_n} es la base canónica de Rⁿ

Teorema 2.27

Si A es la matriz canónica de una aplicación lineal T, entonces la imagen de T es Col A.

Teorema 2.28

Sea T : Rⁿ −→ R^m una transformación lineal y sea A la matriz canónica de la aplicación A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] (Notar que dicha matriz está formada por n vectores de m componentes). T es suprayectiva si y solo si las columnas de A generan R^m. Esto es, si la matriz reducida tiene tantos pivotes como filas (m).

Teorema 2.29

Una aplicación lineal T : Rⁿ −→ R^m es inyectiva si y solo si T(x) = 0 tiene solo la solución trivial.

Teorema 2.30

Sea T : Rⁿ −→ R^m una transformación lineal y sea A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] su matriz canónica (Notar que dicha matriz está formada por n vectores de m componentes). T es inyectiva si y solo si las columnas de A son linealmente independientes. Esto es, si la matriz reducida tiene tantos pivotes como columnas (n).

Teorema 2.31

Sea T : Rⁿ −→ R^m una transformación lineal y sea A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] su matriz canónica. T es biyectiva si y solo si las columnas de A generan R^m y son linealmente independientes. Esto es, si la matriz reducida tiene tantos pivotes como filas y columnas (solo es posible si n = m).