Solucions PAU Física 2008–2009 — Problemes i resolucions

PAU 2009

1) Refracció

Un experiment consisteix a fer penetrar un raig de llum en una interfície entre dos medis; s'observen angles d'incidència i refracció de 20° i 14,90°.

A) L'equació de la refracció: n₁·sin i = n₂·sin r. Per tant:

n₂ = n₁·sin i / sin r = 1·sin 20° / sin 14,90° = 1,33.

2) Ona harmònica transversal

L'equació indicada és y(x,t) = 0,03·sin(2π t - π x).

• A) Equació general: y(x,t) = A·sin(ω t - k x + φ). En el nostre cas: y(x,t) = 0,03·sin(2π t - π x), amb A = 0,03 m; ω = 2π rad/s; k = π rad/m; φ = 0.
• Velocitat de propagació: v = ω / k = (2π) / π = 2 m/s. Període: T = 2π / ω = 1 s. Longitud d'ona: λ = 2π / k = 2,0 m.
• B) Velocitat d'oscil·lació (component vertical): v_y = ∂y/∂t = A·ω·cos(ω t - k x + φ). En el nostre cas: v_y = 0,03·2π·cos(2π t - π x) ≈ 0,1885·cos(2π t - π x) (m/s), amb amplitud 0,19 m/s.
• C) y(x = 0,75 m, t = 2 s) = 0,03·sin(2π·2 - π·0,75) ≈ -0,021 m. v(x = 0,75 m, t = 2 s) = 0,03·2π·cos(2π·2 - π·0,75) ≈ -0,13 m/s.

3) Oscil·lacions d'un objecte lligat a una corda

Respostes de tipus test: 1.C, 2.B.

4) Cubeta d'ones

Es dona un recorregut de 30 cm i un temps de 1,0 s.

• A) Velocitat: v = distància / temps = 0,30 m / 1,0 s = 0,30 m/s.
• Període si s'observen 2 oscil·lacions en 1 s: T = 1 s / 2 = 0,50 s.
• Longitud d'ona: λ = v·T = 0,30·0,50 = 0,15 m.

5) Molla sobre taula sense fregament

Dades: m = 0,5 kg; A = 50 cm = 0,50 m; energia màxima (E) = 50 J (segons el text).

• A) Energia potencial màxima: E_p(max) = 1/2·k·A². Per tant k = 2·E_p / A² = 2·50 / 0,50² = 400 N/m.
• Energia total constant: E = 50 J. Velocitat quan la molla està estirada x = 0,20 m: v = sqrt((2E - k x²) / m) = sqrt((2·50 - 400·0,20²) / 0,5) ≈ 13 m/s.

6) Massa penjada d'una molla vertical

Dades: m = 10 kg; desplaçaments observats 2 cm i 3 cm (segons el text).

• A) k = F / Δx = m g / Δx = 10·9,8 / 0,02 = 4 900 N/m. Frequència angular: ω = sqrt(k / m) = sqrt(4 900 / 10) ≈ 22,1 s^-1.
• Prendre sentit positiu cap amunt i origen a la posició d'equilibri. Si a t = 0 x = -A, aleshores -A = A cos θ ⇒ cos θ = -1 ⇒ θ = π. Així x(t) = 0,03·cos(22,1 t + π).
• B) Velocitat: v(t) = -A ω sin(ω t + θ) = -0,03·22,1·sin(22,1 t + π) ≈ -0,663·sin(22,1 t + π) (m/s). Exemple: v(5) ≈ -0,343 m/s.
• C) Força elàstica: F(t) = -k x(t) = -4 900·0,03·cos(22,1 t + π) = -147·cos(22,1 t + π) (N). Per exemple F(6) = 147·cos(22,1·6 + π) ≈ -117 N.

7) Èmbol d'una màquina de vapor (MHS)

Recorregut total D = 100 cm.

• A = D / 2 = 50 cm = 0,50 m. Velocitat angular: w = 60 rpm = 2π rad/s.
• Quan està a 20 cm d'un extrem, la posició respecte l'origen d'equilibri és x = 0,30 m. Així 0,30 = 0,50·sin φ ⇒ sin φ = 0,6 ⇒ cos φ = ±0,8.
• Velocitat a x = 0,30 m: v = A w cos φ = 0,50·2π·cos φ = ±2,51 m/s.

8) Corda del violí — preguntes tipus test

Respostes de test seguides: 1.C, 2.A.

PAU 2008

1) Efecte fotoelèctric

Radiació ultraviolada de freqüència f_incident = 1,5·10¹⁵ Hz; freqüència llindar f_llindar = 1,1·10¹⁵ Hz.

• A) Energia cinètica dels electrons alliberats: E_c = h (f_incident - f_llindar) = 6,62·10^-34·(1,5·10¹⁵ - 1,1·10¹⁵) = 2,65·10^-19 J.
• B) Energia del fotó incident: E = h f = 6,62·10^-34·1,5·10¹⁵ = 9,93·10^-19 J. Energia llindar: E_llindar = h·1,1·10¹⁵ = 7,28·10^-19 J. Si l'energia del fotó incident és superior a l'energia llindar, sí que es produirà efecte fotoelèctric; si fos inferior no es produiria. (Comprovació numèrica: 9,93·10^-19 J > 7,28·10^-19 J ⇒ efecte fotoelèctric sí.)

2) Ones en una cubeta

Generem ones de freqüència 20 Hz i amplitud 2 cm.

Respostes de test: 1.B, 2.C.

3) Molla horitzontal (exercici)

Dades: m = 2 kg; A = 25 cm = 0,25 m; x = 0,10 m; T = 0,75 s.

• A) ω = 2π / T = 2π / 0,75 ≈ 8,38 rad/s. k = m ω² = 2·8,38² ≈ 140 N/m. Energia cinètica en una posició x: ½ m v² = ½ k (A² - x²) = ½·140·(0,25² - 0,10²) ≈ 3,7 J.
• B) Energia total: E = ½ k A² = ½·140·0,25² ≈ 4,41 J.
• C) Força d'inversió: F = m a = m ω² x; per a x donada F₁ ≈ 14,04 N. (Dibuix: molla, cap a la dreta, v cap a la dreta, acceleració i força cap a l'esquerra quan correspon.)

4) Plataforma circular (força centrípeta i fregament)

Condicions i càlculs:

• Velocitat angular: w = 120/π rpm = (120/π)·(1/60)·2π = 4 rad/s.
• Equilibri entre força centrípeta i fregament: m w² r = μ m g ⇒ r = μ g / w² = 0,5·9,8 / 4² ≈ 0,31 m.

5) XIOM — oscil·lacions

Dades: recorregut total 70 cm, període T = 5 s.

• A) A = 0,70 / 2 = 0,35 m. ω = 2π / T = 2π / 5 = 0,4π rad/s. Equació general: y(t) = A cos(ω t + θ) = 0,35 cos(0,4π t + θ) (m). El valor de θ depèn de les condicionals inicials; podem prendre θ = 0 si comencem a comptar el temps en una posició d'amplitud màxima.

6) Raig de llum groc (580 nm) en aire i vidre

• A) Freqüència: f = c / λ = 3,00·10⁸ / 580·10^-9 ≈ 5,17·10¹⁴ Hz.
• Si l'índex de refracció del vidre és n = 1,55, la velocitat de la llum al vidre és v_vidre = c / n = 3,00·10⁸ / 1,55 ≈ 1,94·10⁸ m/s.
• B) La freqüència dins del vidre és la mateixa: f_vidre = f_aire ≈ 5,17·10¹⁴ Hz. Longitud d'ona al vidre: λ_vidre = v_vidre / f ≈ 1,94·10⁸ / 5,17·10¹⁴ ≈ 3,75·10^-7 m (≈ 375 nm).

7) Massa sobre taula, molla

Dades: m = 380 g = 0,380 kg; k = 15 N/m; A = 10 cm = 0,10 m; x = 2 cm = 0,02 m.

• A) ω = sqrt(k / m) = sqrt(15 / 0,380) ≈ 6,28 rad/s. Per tant T = 2π / ω ≈ 1 s.
• B) Condicions inicials: si a t = 0 x = A, aleshores θ = 0 i x(t) = 0,10 cos(6,28 t) (m).
• C) Energies: E = ½ k A². L'energia cinètica quan x = 0,02 m: ½ m v² = ½ k (A² - x²) = ½·15·(0,10² - 0,02²) ≈ 7,20·10^-2 J.