Solución de la ecuación de segundo grado mediante procedimiento de completar cuadrado. Fórmula de Baskara

Solución de la ecuación de segundo grado mediante procedimiento de completar cuadrado. Fórmula de Baskara

Teniendo presente el desarrollo del cuadrado de la suma de dos términos, como, por ejemplo: (x + t/2) al cuadrado = x² + t + t/2 al cuadrado. Se observa que si en el segundo miembro solo se tuviera la suma del término cuadrático con el término lineal, para lograr completar un cuadrado perfecto, se debería sumar y restar un término que esté conformado por el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. Estas consideraciones son de mucha utilidad en el proceso que continúa.

En esta instancia se pretende resolver una ecuación de segundo grado completa con coeficientes reales, mediante el proceso de completar cuadrado. Para ello será necesario tener en cuenta lo dicho en las líneas anteriores. El proceso es el siguiente:

Dada la expresión de una ecuación de segundo grado completa de la forma: ax² + bx + c = 0, se divide toda la expresión por el coeficiente principal a: X² + b/a x + c/a = 0. Luego se dejan en el primer miembro los términos cuadrático y lineal: X² + b/a x = -c/a. Se completa el cuadrado en el primer miembro sumando a ambos miembros de la igualdad la expresión (b/2a)²: X² + b/a x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)². Así el primer miembro contiene un trinomio cuadrado perfecto por lo que se puede factorizar como el cuadrado de la suma de dos números y en el segundo miembro se resuelve la potencia: (x + b/2a)² = -c/a + b²/4a². En el segundo miembro se busca el común denominador entre las fracciones (x + b/2a)² = (-4ac + b²)/4a². Luego se elimina el cuadrado del primer miembro, mediante el artificio de aplicar la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad: x + b/2a = ±√((-4ac + b²)/4a²). Se despeja la variable x del primer miembro, restando el término conveniente: x = -b/2a ± √((-4ac + b²)/4a²). Se cambia el orden de los términos en el segundo miembro y se extrae la raíz posible, quedando: x = (-b ± √((-4ac + b²)/4a²))/2a. Se efectúa la suma de términos del segundo miembro: x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a. Esta es la fórmula de Baskara. Esta expresión posibilita la determinación de los valores x₁ y x₂ de la incógnita x, utilizando el doble signo que provee la raíz cuadrada.

Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado:En algunas situaciones solo se requiere conocer la naturaleza o carácter de las raíces de una ecuación de segundo grado, en el sentido de conocer qué clase de valores se obtendrán para la incógnita: reales iguales, reales distintos o complejos. Esta información se puede obtener sin la necesidad de resolver la ecuación dada, para ello se tiene en cuenta la expresión que resulta de aplicar la fórmula y se observa el comportamiento del radicando de la raíz que figura en el segundo miembro b² - 4ac, que recibe el nombre de discriminante. El valor de este binomio depende de los coeficientes del polinomio cuadrático, y determina el carácter de las raíces, a saber: Si el discriminante b² - 4ac > 0, es decir toma un valor real positivo, su raíz cuadrada será un valor real y como en la fórmula se hará uso de los signos + y -, los valores de las raíces serán reales distintos. Si el discriminante b² - 4ac = 0, la raíz cuadrada será cero y las raíces serán reales iguales, es decir que la ecuación tiene una raíz doble. Si el discriminante b² - 4ac < 0, la raíz cuadrada llevará a un resultado complejo y las raíces serán números complejos conjugados.