Sistemas de Numeración y Álgebra de Boole en Circuitos Digitales

1. Sistemas de Numeración y Códigos

Un circuito combinacional es aquel que en cada instante presenta un estado de salida que depende únicamente del estado de sus entradas.

Un circuito secuencial, en cambio, presenta salidas que no solo dependen del estado de las entradas en un momento dado, sino también del historial de las salidas anteriores. Para ello, requiere lo que se denomina memoria.

A) Sistemas de Numeración

Los circuitos digitales funcionan mediante la aplicación a sus entradas de señales que toman un número finito de valores. Normalmente, se utilizan señales binarias. Tanto si se emplean en procesos de datos como en control digital, los sistemas digitales han de realizar operaciones con números que pueden estar representados en cualquier sistema de numeración, diferenciándose en su base.

El sistema de numeración empleado habitualmente es el que utiliza base 10 o sistema decimal. Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el sistema de numeración binaria, el de base 2. Cualquier información que deba ser tratada por un circuito digital ha de ser codificada previamente al sistema binario.

B) Sistema Binario

Este sistema utiliza para su representación dos símbolos: 0 y 1. La utilización de este sistema de numeración es casi exclusiva en sistemas de control y cálculo, debido a la seguridad y la rapidez de respuesta de los elementos físicos que poseen dos estados diferentes.

C) Sistema Hexadecimal

Es un sistema de numeración muy empleado en microprocesadores. Su característica más destacada es la facilidad de conversión con el código binario. El sistema hexadecimal tiene base 16. Para su representación se utilizan los 10 primeros dígitos decimales (0 al 9) y las letras del alfabeto (A, B, C, D, E y F).

D) Códigos Binarios

Un código es una representación de cantidades, de tal forma que a cada una de estas se le asigna una combinación de símbolos determinada y viceversa.

Dentro de los códigos binarios, los más utilizados son los códigos BCD (Decimal codificado en binario).

El número de bits necesarios para representar cada cifra es de cuatro.

El código más utilizado es el código BCD natural, que emplea las diez primeras combinaciones en orden creciente. También existen otros códigos de la familia BCD como el Aiken, que emplea las cinco primeras combinaciones y las cinco últimas de las 16 que pueden formarse con cuatro bits; y el exceso tres, que no toma ni las tres primeras ni las tres últimas, sino las 10 que quedan en medio.

Otra clase de códigos binarios son los denominados códigos progresivos, cuya característica principal es que una combinación difiere de la anterior y de la siguiente en un solo bit. Esto facilita la detección de errores y la transmisión de datos.

2. Álgebra de Boole

El matemático George Boole desarrolló un álgebra que consiste en representar las formas de razonamiento lógico, sistematizarlas y profundizar en el conocimiento de sus mecanismos. Esta álgebra funciona con dos variables: 0 y 1. Estos números representan estados de un dispositivo.

Lógica de Niveles

En los circuitos digitales es necesario adoptar un sistema de representación para diferenciar los estados lógicos 0 y 1. Para ello se utiliza el procedimiento denominado lógica de niveles. Existen dos tipos de lógica: la positiva y la negativa. En lógica positiva, al nivel de tensión más elevado se le asigna el estado 1, mientras que al nivel más bajo se le establece el estado 0. La lógica negativa funciona al contrario que la positiva.

Variables y Funciones Lógicas. Tabla de Verdad

Para nosotros, una proposición es una afirmación extensa de ambigüedades que se manifiesta por medio de una oración gramatical y que vamos a representar mediante un símbolo que será la variable lógica. Los estados de la variable lógica pueden ser dos: verdadero o falso. Al ordenarlos en una tabla, se denomina tabla de verdad. Se pueden combinar variables lógicas, de forma que una variable sea dependiente de otras que serán independientes, denominándose función lógica. Si hubiera tres variables independientes, las posibilidades serían 8 y, en general, 2ⁿ, donde n es el número de variables lógicas.

Operaciones Básicas en el Álgebra de Boole

• Suma Lógica o Unión (Puerta OR): Se trata de una función lógica que se representa (S=b+a). Es decir, la suma lógica toma valor 1 cuando a o b, o ambas, tienen valor 1. Los circuitos electrónicos que realizan directamente esta operación se denominan puertas OR.
• Producto Lógico o Función Intersección (Puerta AND): Se trata de una función lógica que aplicada a dos variables de entrada a y b se representa (S=a.b). Es decir, el producto lógico toma valor 1 cuando a y b son 1. El circuito eléctrico equivalente responde a la asociación de dos interruptores en serie. Existen circuitos eléctricos que cumplen el producto lógico, realizan esta operación directamente y se denominan puertas AND.
• Función Igualdad: Es la más sencilla de todas, pues en ella solo interviene una variable. Su expresión matemática es (S=a). Esta función no se realiza con ninguna puerta lógica.
• Complementación o Función Negación (Puerta NOT o Inversora): Se aplica a una sola variable de entrada, de tal forma que si es a, su complementación se representa por . (S= ). El complemento de una variable equivale a invertir el estado lógico anterior, por eso también se conoce como función inversora. La puerta lógica que resuelve la operación de inversión se denomina puerta NOT y su símbolo es:

Postulados, Propiedades y Teoremas del Álgebra de Boole

• Propiedades:
  • Conmutativa: (a+b=b+a) y (a.b=b.a)
  • Asociativa: (a+b+c=a+(b+c)) y (a.b.c=a.(b.c))
  • Distributiva: (a.(b+c)=(a.b)+(a.c)) y (a+(b.c)=(a+b).(a+c))
• Postulados:
  • (a+1=1)
  • (a+0=a)
  • (a+a=a)
  • (a+=1)
  • (=a)
  • (a.1=a)
  • (a.0=0)
  • (a.a=a)
  • (a.=0)
• Teoremas: (Consultar manual, página 323)

Otras Funciones Lógicas

• Función o Puerta NOR: Esta función se obtiene al invertir la salida de una función OR. El resultado es la negación de la función suma. Su expresión matemática es (S=), que aplicando las leyes de Morgan se queda en (S= ).
• Función o Puerta NAND: Realiza el producto lógico u operación AND, y después la invierte. La salida de la función NAND es , si a y b son las variables de entrada (S=) que, aplicando las leyes de Morgan, también se puede expresar (S=).