Runge–Kutta, métodos multipaso y adaptativos: diferencias, ventajas y control del paso

Nota

Nota: Un método multipaso es el que utiliza valores anteriores.

Diferencia entre los métodos explícitos e implícitos

Métodos explícitos:

• Requieren que se pueda obtener claramente dy/dx, la cual se evalúa para el cálculo directo de los nuevos valores en el siguiente punto en el tiempo.

Métodos implícitos:

• Usan algoritmos que dan como resultado ecuaciones que deben resolverse para obtener los nuevos valores en el paso siguiente en el tiempo.

¿Ventajas de Runge–Kutta respecto a Taylor?

La ventaja de los métodos de Runge–Kutta (RK), que también son métodos de un paso, frente al uso de la serie de Taylor radica en que los métodos de RK requieren únicamente la evaluación de la función f(x, y) y no de sus derivadas. En cambio, la serie de Taylor exige la evaluación de derivadas de orden superior. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de RK sea más simple que el uso directo de la serie de Taylor.

Ventajas y desventajas de los métodos multipaso

En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos en un paso —en especial los de Runge–Kutta— suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de sus mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa.

Por ejemplo, para el método de Runge–Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de la función en cada paso. Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de la función en la etapa anterior, con un método multipaso sólo se necesita una evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo.

Métodos adaptativos de Runge–Kutta (mitad de paso)

Método de mitad de paso: Consiste en realizar dos veces cada paso: una vez como un solo paso completo y, de forma independiente, como dos medios pasos. La diferencia entre los dos resultados representa una estimación del error de truncamiento local.

Método de Runge–Kutta–Fehlberg

Además de dividir en medios pasos para ajustar el tamaño de paso, un procedimiento alternativo para obtener una estimación del error consiste en calcular dos predicciones de RK de diferente orden. Los resultados se restan después para obtener una estimación del error local de truncamiento. Un defecto de tal procedimiento es el notable aumento de la cantidad de cálculos necesarios.

¿Cómo se controla el tamaño de paso?

La estrategia consiste en aumentar el tamaño de paso si el error es demasiado pequeño y disminuirlo si el error es demasiado grande. El ajuste puede basarse en una tolerancia dada y en la estimación del error local obtenida por los procedimientos adaptativos descritos anteriormente.

¿Para qué se necesitan las condiciones iniciales?

Las condiciones iniciales son necesarias para obtener una solución única que satisfaga la ecuación diferencial.