Resumen de Fórmulas Fundamentales para la Derivación de Funciones

Resumen de Fórmulas Fundamentales para la Derivación

I. Derivadas Simples (Tabla de Referencia)

A continuación, se presenta una tabla esencial con las derivadas de funciones básicas:

II. Regla de la Cadena (Derivación de Funciones Compuestas)

Si tenemos una función compuesta $F(x) = f(g(x))$, su derivada se calcula como:

$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Casos Específicos de la Regla de la Cadena:

1. Potencia: $(g(x))^n \rightarrow n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$

2. Raíz Cuadrada: $\sqrt{g(x)} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x)$

3. Exponencial (base $e$): $e^{g(x)} \rightarrow e^{g(x)} \cdot g'(x)$

4. Logaritmo Natural: $\ln(g(x)) \rightarrow \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$

5. Exponencial (base $a$): $a^{g(x)} \rightarrow a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x)$

6. Logaritmo base $a$: $\log_a(g(x)) \rightarrow \frac{1}{g(x) \cdot \ln(a)} \cdot g'(x)$

III. Operaciones Algebraicas con Derivadas

Propiedades Fundamentales:

• Constante por función:

  $F(x) = k \cdot f(x) \rightarrow F'(x) = k \cdot f'(x)$

• Suma / Resta:

  $F(x) = f(x) \pm g(x) \rightarrow F'(x) = f'(x) \pm g'(x)$

• Producto (Regla del Producto):

  $F(x) = f(x) \cdot g(x) \rightarrow F'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

• Cociente (Regla del Cociente):

  $F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow F'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$

IV. Ejemplo de Aplicación y Conceptos Relacionados

Ejemplo: Función a Trozos y Continuidad

Consideremos la función $f(x)$ definida a trozos (Nota: Se asume que la función original tenía un error de transcripción, se corrige la notación para claridad):

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \geq 0 \\ \sqrt{x+1} & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Pregunta: ¿Es continua en $x = 2$?

Nota: La evaluación de límites en $x=2$ parece corresponder a una función diferente en el documento original. Se corrige la interpretación del ejemplo para evaluar la continuidad en el punto de unión, $x=0$, o se mantiene la estructura del ejemplo original, aunque el punto $x=2$ no es el punto de ruptura. Mantendremos la estructura original del ejemplo para no eliminar contenido, pero señalando la inconsistencia:*

Evaluación del ejemplo original (aunque $x=2$ no es el punto de quiebre $x=0$):

1. Límite por la izquierda (usando la primera rama, asumiendo que el límite se evalúa en un punto donde ambas ramas son válidas o hay un error en la definición del ejemplo): $\lim_{x\to 2^-} f(x) = (2)^2 = 4$ (Si se usa $x^2$)

2. Límite por la derecha (usando la primera rama, ya que $2 \geq 0$): $\lim_{x\to 2^+} f(x) = (2)^2 = 4$

El ejemplo original presentaba cálculos que no correspondían a la función definida ($x^2$ y $3x-2$), lo cual indica un error en el ejemplo proporcionado. Si tomamos los resultados del documento original:

1. $\lim_{x\to 2^-} f(x) = (2)^2 - 4 = 0$

2. $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 3(2) - 2 = 4$

   $\rightarrow$ Como $0 \neq 4$, la función es discontinua en $x = 2$ (según los valores dados en el ejemplo).

Dominio de las Funciones (D(f))

Es crucial determinar el dominio antes de derivar:

1. Función Polinómica: $D(f) = \mathbb{R}$ (Todos los números reales).

2. Función Racional: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{x : \text{denominador} = 0\}$ (Todos los reales excepto donde el denominador es cero).

3. Función Irracional (Raíz par): $D(f) = \{x \in \mathbb{R} : \text{radicando} \geq 0\}$ (El radicando debe ser mayor o igual a cero).

   Nota: Para raíces de índice impar, el dominio es $\mathbb{R}$, calculando las restricciones internas si las hay.

V. Repetición de Tabla de Derivadas Simples

Se reitera la tabla de derivadas simples para referencia rápida: