Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con el Método de Eliminación de Gauss

Eliminación de Gauss

Considérese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

a₁₁p₁ + a₁₂p₂ + a₁₃p₃ = q₁

a₂₁p₁ + a₂₂p₂ + a₂₃p₃ = q₂                                                                                               3.2
a₃₁p₁ + a₃₂p₂ + a₃₃p₃ = q₃

Representación Matricial

Este sistema se representa matricialmente de la siguiente manera:

 =

           A               p    =    q

Objetivo del Método

Básicamente, este método tiene el objetivo de convertir la matriz de coeficientes A en una matriz triangular superior, cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Para ello, se multiplican filas por constantes adecuadas y se suman a otras filas.

Proceso de Triangularización

Como primer paso, se reemplaza la segunda ecuación con el resultado de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a₂₁/a₁₁). Con esto se obtiene un 0 en la posición de a₂₁. Similarmente, se sustituye la tercera ecuación con el resultado de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a₃₁/a₁₁).

Esto da lugar al nuevo sistema:

 =

Simbólicamente, los nuevos valores pueden representarse de forma más simplificada así:

 =

                                                                                           3.3

Donde las a' y las q' son los nuevos elementos que se obtienen de las operaciones ya mencionadas, y donde p₁ se ha eliminado en la segunda y tercera ecuaciones. Ahora, multiplicando la segunda ecuación de 3.3 por (-a'₃₂/a'₂₂) y sumando el resultado a la tercera ecuación de 3.3, se obtiene el sistema triangular:

=

Que simbólicamente puede representarse de forma más simplificada así:

 =

                                                                               3.4

Donde a''₃₃ y q''₃ resultaron de las operaciones realizadas y p₂ se ha eliminado de la tercera ecuación.

El proceso de llevar el sistema de ecuaciones 3.2 a la forma de la ecuación 3.4 se conoce como triangularización.

Sustitución Regresiva

El sistema en la forma de la ecuación 3.4 se resuelve fácilmente. Primero, se despeja p₃ de la última ecuación. Luego, se sustituye el valor de p₃ en la segunda ecuación y se despeja p₂. Finalmente, con los valores de p₃ y p₂ conocidos, se sustituyen en la primera ecuación de 3.4 para obtener p₁. Esta parte del proceso se llama sustitución regresiva.

Uso de la Matriz Aumentada

Antes de ilustrar la eliminación de Gauss con un ejemplo particular, nótese que no es necesario escribir las incógnitas p₁, p₂ y p₃ durante la triangularización. Esta puede llevarse a cabo usando solamente la matriz de coeficientes A y el vector de términos independientes q. Para mayor simplicidad, se suele emplear la matriz aumentada B:

B =

  =   [A | q]

Con esto se incorporan la notación matricial y todas sus ventajas a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.