Cómo Resolver Ecuaciones Logarítmicas Paso a Paso

1. Ecuaciones con un solo término logarítmico e incógnita en el argumento

En este caso, el procedimiento consta de dos pasos fundamentales:

1. Despejar el término que contiene el logaritmo.
2. Aplicar la definición de logaritmo: log_b(a) = c ⇔ b^c = a.

Ejemplo A

log3(x + 2) = 2

Aplicamos la definición directamente:

32 = x + 2
9 = x + 2
9 - 2 = x
x = 7

Ejemplo B

log12(2x - 6) + 3 = 3

Primero, despejamos el logaritmo:

log12(2x - 6) = 3 - 3
log12(2x - 6) = 0

Ahora, aplicamos la definición:

120 = 2x - 6
1 = 2x - 6
1 + 6 = 2x
7 = 2x
x = 7/2

Ejemplo C

7 + 3 · log4(x2) = 4

Despejamos el logaritmo:

3 · log4(x2) = 4 - 7
3 · log4(x2) = -3
log4(x2) = -3 / 3
log4(x2) = -1

Aplicamos la definición:

4-1 = x2
1/4 = x2
√1/4 = x
x = 1/2 (y también x = -1/2, ya que (-1/2)² = 1/4)

2. Ecuaciones con más de un término logarítmico y misma base

Los pasos a seguir son:

1. Aplicar las propiedades de los logaritmos (suma o resta) para agrupar los términos en un único logaritmo.
2. Aplicar la definición de logaritmo para resolver.

Ejemplo A

log2(8x) + log2(4x2) = 8

Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos (producto de los argumentos):

log2(8x · 4x2) = 8
log2(32x3) = 8

Aplicamos la definición:

28 = 32x3
256 = 32x3
256 / 32 = x3
8 = x3
3√8 = x
x = 2

Ejemplo B

log3(x - 12) - log3(x + 2) = 1

Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos (cociente de los argumentos):

log3((x - 12) / (x + 2)) = 1

Aplicamos la definición:

31 = (x - 12) / (x + 2)
3 · (x + 2) = x - 12
3x + 6 = x - 12
3x - x = -12 - 6
2x = -18
x = -18 / 2
x = -9

Importante: Se debe verificar la solución en la ecuación original. El argumento de un logaritmo debe ser siempre positivo. Si x = -9, el argumento (x - 12) sería (-9 - 12) = -21, lo cual no es válido. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución.

3. Ecuaciones con más de un término logarítmico y distinta base

El método consiste en:

1. Aplicar la propiedad de cambio de base para unificar todos los logaritmos a una base común.
2. Realizar un cambio de variable para simplificar la ecuación.
3. Resolver la nueva ecuación.
4. Deshacer el cambio de variable y aplicar la definición para hallar la incógnita.

Ejemplo A

5 · log4(x) - 7 · log2(x) = -27

Cambiamos log4(x) a base 2: log4(x) = log2(x) / log2(4) = log2(x) / 2.

5 · (log2(x) / 2) - 7 · log2(x) = -27

Hacemos el cambio de variable m = log₂(x):

5m/2 - 7m = -27
(5/2 - 14/2)m = -27
-9/2 m = -27
m = -27 / (-9/2)
m = 6

Deshacemos el cambio: log2(x) = 6. Aplicamos la definición:

26 = x
x = 64

Ejemplo B

log2(x3) - log8(x2) + log32(x) = 76/15

Aplicamos propiedades y cambiamos todo a base 2:

3·log2(x) - 2·(log2(x)/log2(8)) + (log2(x)/log2(32)) = 76/15
3·log2(x) - 2·(log2(x)/3) + (log2(x)/5) = 76/15

Hacemos el cambio de variable m = log₂(x):

3m - (2/3)m + (1/5)m = 76/15
(45/15 - 10/15 + 3/15)m = 76/15
(38/15)m = 76/15
m = (76/15) / (38/15)
m = 2

Deshacemos el cambio: log2(x) = 2. Aplicamos la definición:

22 = x
x = 4

4. Ecuaciones con logaritmos elevados al cuadrado (tipo cuadrática)

Para resolverlas, se deben seguir estos pasos:

1. Realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación cuadrática (de la forma am² + bm + c = 0).
2. Aplicar la fórmula de Bhaskara (fórmula resolvente) para encontrar las soluciones de la nueva variable (m).
3. Deshacer el cambio de variable para cada solución obtenida y despejar la incógnita final.

Ejemplo A

log32(x) + 3 · log3(x) + 2 = 0

Hacemos el cambio de variable m = log₃(x):

m2 + 3m + 2 = 0

Aplicamos la fórmula de Bhaskara, obteniendo dos soluciones:

m₁ = -1 y m₂ = -2

Deshacemos el cambio para cada solución:

Para m₁ = -1:
log3(x) = -1
3-1 = x
x = 1/3

Para m₂ = -2:
log3(x) = -2
3-2 = x
x = 1/9

Ejemplo B

2 · log32(x) - 3 · log3(x) = 5

Primero, igualamos la ecuación a cero:

2 · log32(x) - 3 · log3(x) - 5 = 0

Hacemos el cambio de variable m = log₃(x):

2m2 - 3m - 5 = 0

Aplicamos la fórmula de Bhaskara, obteniendo dos soluciones:

m₁ = 5/2 y m₂ = -1

Deshacemos el cambio para cada solución:

Para m₁ = 5/2:
log3(x) = 5/2
35/2 = x
x = √35 = 9√3

Para m₂ = -1:
log3(x) = -1
3-1 = x
x = 1/3