Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2: Métodos y Ejemplos Prácticos

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Escrito el 11 de Septiembre de 2025 en español con un tamaño de 7,55 KB

Este documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 utilizando diversos métodos. Se incluyen pasos detallados para la graficación, la regla de Cramer, el método de reducción, el método de igualación y el método de sustitución.

Ecuaciones Preliminares (Contexto Original)

El documento original inicia con las siguientes expresiones, que parecen ser un punto de partida o una derivación, aunque no se relacionan directamente con el sistema principal que se resuelve a continuación:

i x+1 = 1
y-2 = 2
ii x+y = 1

Nota: Estas ecuaciones iniciales no forman parte del sistema lineal que se resolverá en las siguientes secciones, el cual se deriva a continuación.

Sistema de Ecuaciones Lineales a Resolver

El sistema de ecuaciones que se abordará en este documento se deriva de las siguientes expresiones:

Ecuación 1 (L1):

2x + 2 = y - 2

Reordenando para obtener la forma estándar Ax + By = C:

2x - y = -4

Ecuación 2 (L2):

x + y = 1

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales a resolver es:

L1: 2x - y = -4
L2: x + y = 1

Método de Graficación

Para graficar un sistema de ecuaciones lineales, encontramos al menos dos puntos para cada línea (generalmente los interceptos con los ejes x e y) y luego dibujamos las líneas. La solución del sistema es el punto de intersección de ambas líneas.

Graficando la Ecuación L1: `2x - y = -4`

Intercepto con el eje Y (cuando x = 0):

        2(0) - y = -4
        -y = -4
        y = 4

Punto: (0, 4)

Intercepto con el eje X (cuando y = 0):

        2x - 0 = -4
        2x = -4
        x = -2

Punto: (-2, 0)

Tabla de valores para L1:

x | 0 | -2
y | 4 | 0

Graficando la Ecuación L2: `x + y = 1`

Intercepto con el eje Y (cuando x = 0):

        0 + y = 1
        y = 1

Punto: (0, 1)

Intercepto con el eje X (cuando y = 0):

        x + 0 = 1
        x = 1

Punto: (1, 0)

Tabla de valores para L2:

x | 0 | 1
y | 1 | 0

La intersección de estas dos líneas en un gráfico nos dará la solución del sistema.

Método de Cramer (Determinantes)

El método de Cramer utiliza determinantes para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Para el sistema:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Las fórmulas son:

x = Δx / Δs
y = Δy / Δs

Donde:

Δs (Delta del sistema) es el determinante de la matriz de coeficientes.
Δx (Delta de x) es el determinante de la matriz de coeficientes reemplazando la columna de x por la columna de términos independientes.
Δy (Delta de y) es el determinante de la matriz de coeficientes reemplazando la columna de y por la columna de términos independientes.

Para nuestro sistema:

L1: 2x - y = -4
L2: x + y = 1

Los coeficientes son: a₁=2, b₁=-1, c₁=-4 y a₂=1, b₂=1, c₂=1.

Cálculo de los Determinantes

Determinante del Sistema (Δs):

        Δs = | 2  -1 |
             | 1   1 |
           = (2 * 1) - (-1 * 1) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3

(Corrección: El cálculo original era incorrecto, resultando en -3. El valor correcto es 3.)

Determinante de x (Δx):

        Δx = | -4  -1 |
             |  1   1 |
           = (-4 * 1) - (-1 * 1) = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3

(Corrección: El cálculo original era incorrecto, resultando en -5. El valor correcto es -3.)

Determinante de y (Δy):

        Δy = | 2  -4 |
             | 1   1 |
           = (2 * 1) - (-4 * 1) = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6

(Corrección: El cálculo original era incorrecto, resultando en -9. El valor correcto es 6.)

Cálculo de las Variables

Valor de x:
```
        x = Δx / Δs = -3 / 3 = -1
        
```
(Corrección: El valor original era 1.6. El valor correcto es -1.)
Valor de y:
```
        y = Δy / Δs = 6 / 3 = 2
        
```
(Corrección: El valor original era 3. El valor correcto es 2.)

La solución obtenida por el método de Cramer es: (x, y) = (-1, 2).

(Corrección: La solución original era (1,3), lo cual es incorrecto.)

Otros Métodos de Resolución

A continuación, se demuestran los mismos resultados utilizando los métodos de Reducción, Igualación y Sustitución.

Método de Reducción (Eliminación)

El objetivo es eliminar una de las variables sumando o restando las ecuaciones.

L1:  2x - y = -4
L2:   x + y =  1
-----------------
Sumando L1 y L2:
(2x + x) + (-y + y) = -4 + 1
3x = -3
x = -3 / 3
x = -1

Ahora, sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales (usaremos L2):

x + y = 1
-1 + y = 1
y = 1 + 1
y = 2

La solución por el método de Reducción es: (x, y) = (-1, 2).

Método de Igualación

El objetivo es despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes.

Despejar y de L1:

        2x - y = -4
        -y = -4 - 2x
        y = 2x + 4

Despejar y de L2:

        x + y = 1
        y = 1 - x

Igualamos las expresiones para y:

2x + 4 = 1 - x
2x + x = 1 - 4
3x = -3
x = -3 / 3
x = -1

Ahora, sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones despejadas para y (usaremos y = 1 - x):

y = 1 - (-1)
y = 1 + 1
y = 2

La solución por el método de Igualación es: (x, y) = (-1, 2).

Método de Sustitución

El objetivo es despejar una variable de una ecuación y sustituirla en la otra ecuación.

Despejar x de L2:
```
        x + y = 1
        x = 1 - y
        
```
(Corrección: El documento original tenía un error en esta línea, indicando x=1-4.)

Sustituimos esta expresión para x en L1:

2x - y = -4
2(1 - y) - y = -4
2 - 2y - y = -4
2 - 3y = -4
-3y = -4 - 2
-3y = -6
y = -6 / -3
y = 2

(Corrección: La línea 2 x 2y-y=-y en el original fue corregida para reflejar el proceso correcto de sustitución.)

Ahora, sustituimos el valor de y en la expresión despejada para x:

x = 1 - y
x = 1 - 2
x = -1

La solución por el método de Sustitución es: (x, y) = (-1, 2).

Conclusión

Todos los métodos aplicados (Graficación, Cramer, Reducción, Igualación y Sustitución) convergen en la misma solución para el sistema de ecuaciones lineales 2x - y = -4 y x + y = 1.

La solución única para este sistema es: (x, y) = (-1, 2).

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