Resolución de Problemas de Vectores y Fuerzas: Ejercicios Prácticos

Ejercicio 1: Cálculo de Desplazamiento y Dirección

Datos del Enunciado:

• d1 = 150 cm
• α1 = 120º
• dr = 131 cm
• αr = 52º al este del norte

Cálculos:

• Componentes en X:
  • d1x = -d1 * cos(58º) = -152 cm * cos(58º) = -80.54 cm
  • drx = dr * sen(52º) = 131 cm * sen(52º) = 103.22 cm
• Cálculo de d2x:

  drx = -d1x + d2x

  d2x = drx + d1x = 103.22 cm + 80.54 cm = 183.76 cm

• Componentes en Y:
  • d1y = d1 * sen(58º) = 152 cm * sen(58º) = 128.9 cm
  • dry = dr * cos(52º) = 131 cm * cos(52º) = 80.65 cm
• Cálculo de d2y:

  dry = d1y + d2y

  d2y = dry - d1y = 80.65 cm - 128.9 cm = -48.25 cm

• Cálculo de d2:

  d2 = √((183.76 cm)² + (-48.25 cm)²) = 189.936 cm

• Cálculo de α2:

  α2 = tan⁻¹(-48.25 cm / 183.76 cm) = -14.68º

d2 = 189.936 cm en dirección 14.68º al sur del este.

Ejercicio 2: Cálculo de Fuerza Resultante y Ángulo

Fr = √(Fx² + Fy²)

Sustituyendo los valores:

Fr = √((-500 N)² + (200 N)²)

Fr ≈ 538.5 N

θ = tan⁻¹(Fy / Fx)

θ = tan⁻¹(200 N / -500 N)

θ ≈ -21.8° (También es válida la solución de 158.2°).

Ejercicio 3: Cálculo de Fuerza Resultante con Múltiples Fuerzas

Componentes de las Fuerzas:

• Fuerza A:
  • Fx_A = 300 N * cos(30°) = 259.8 N
  • Fy_A = 300 N * sin(30°) = 150 N
• Fuerza B:
  • Fx_B = 600 N * cos(270°) = 0 N
  • Fy_B = 600 N * sin(270°) = -600 N
• Fuerza C:
  • Fx_C = 100 N
  • Fy_C = 0 N

Componentes de la Fuerza Resultante:

• Fx_R = Fx_A + Fx_B + Fx_C = 259.8 N + 0 N + 100 N = 359.8 N
• Fy_R = Fy_A + Fy_B + Fy_C = 150 N - 600 N + 0 N = -450 N

Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante:

• Fr = √(Fx_R² + Fy_R²) = √(359.8 N² + (-450 N)²) = 576.15 N
• θ = tan⁻¹(Fy_R / Fx_R) = tan⁻¹(-450 N / 359.8 N) = -51.34°

Método del Polígono:

La suma vectorial de las fuerzas se observa en el método del polígono.

• Frx = F1*cos(30º) + F3 = 300 N*cos(30º) + 100 N = 359.8 N
• Fry= F1*sen(30º) -F2 = 300N*sen(30º) - 600 N = - 450 N
• Fr = √(Frx² + Fry²) = √((359.8 N)² + (-450 N)²) = 576.15 N

Ejercicio 4: Cálculo de Distancia entre Dos Aeronaves

Datos:

• Distancia horizontal de la nave 1 en el eje X (DhN1) = 19.2 Km
• Distancia horizontal de la nave 2 en el eje X (DhN2) = 17.06 Km
• Distancia vertical de la nave 1 en el eje Z (DvN1) = 800 m = 0.8 km
• Distancia vertical de la nave 2 en el eje Z (DvN2) = 1100 m = 1.1 km
• Ángulo de vuelo de la nave 1 = 25° (Sur-Oeste)
• Ángulo de vuelo de la nave 2 = 20° (Sur-Oeste)

Cálculos:

Distancia en el eje Y:

• DYN1 = DhN1 / tan(25°) = 19.2 Km / 0.466 = 41.2 Km
• DYN2 = DhN2 / tan(20°) = 17.06 Km / 0.364 = 46.87 Km

Vectores de Separación:

• VX = DhN1 – DhN2 = 19.2 Km – 17.06 Km = 2.14 Km
• VY = DYN2 – DYN1 = 46.87 Km - 41.2 Km = 5.67 Km
• VZ = DvN2 – DvN1 = 1.1 Km – 0.8 Km = 0.3 Km

Distancia Total (Teorema de Pitágoras):

Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia total entre las aeronaves.

• Distancia (Z – Y) = √(VZ² + VY²) = √((0.3 Km)² + (5.67 Km)²) = 5.678 Km
• Distancia (X – Y) = √((VX)² + (Distancia (Z-Y))²) =√((2.14 Km)² + (5.678 Km)²) = 6.067 Km

La distancia entre las aeronaves es aproximadamente 6.067 Km.

Cálculo Alternativo con Coordenadas:

Posición de la primera nave:

• Coordenada X: 19.2 Km * cos(25°) = 17.4 Km
• Coordenada Y: 19.2 Km * sin(25°) = 8.11 Km
• Coordenada Z: 800 m

Posición de la segunda nave:

• Coordenada X: 17.06 Km * cos(20°) = 16.03 Km
• Coordenada Y: 17.06 Km * sin(20°) = 5.84 Km
• Coordenada Z: 1100 m

Distancia = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Sustituyendo las coordenadas de las dos naves:

Distancia = √((16.03 Km - 17.4 Km)² + (5.84 Km - 8.11 Km)² + (1100 m - 800 m)²) = 2.714

Distancia ≈ 2.714 Km