Resolución de Problemas de Permutaciones y Disposiciones Combinatorias

Problema 2.34: Arreglos de Personas en una Fila

a) Formación de 6 personas para abordar un autobús

Solución

Este es un problema de permutaciones de 6 elementos distintos. Cuando se trata de formar personas en una fila, el orden es importante. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones (o el concepto de factorial para la disposición de n elementos distintos), el número de maneras posibles es:

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 maneras.

b) 3 personas específicas insisten en estar una después de la otra

Solución

Si 3 personas específicas (llamémoslas A, B, C) insisten en estar una después de la otra, podemos tratarlas como un único bloque o unidad. Las otras 3 personas (D, E, F) son individuos separados.

1. Primero, consideramos las 3 personas específicas como un bloque. Estas 3 personas pueden ordenarse internamente de 3! maneras:

3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneras.

Ahora, tenemos 4 "elementos" para ordenar: el bloque de las 3 personas juntas y las otras 3 personas individuales. Estos 4 elementos pueden ordenarse de 4! maneras:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras.

Aplicando el Principio de Multiplicación, el número total de maneras en que las 6 personas pueden alinearse con las 3 específicas juntas es el producto de las maneras internas del bloque y las maneras de ordenar los elementos:

Total de maneras = 3! × 4! = 6 × 24 = 144 maneras.

c) 2 personas específicas rehúsan seguir una a la otra

Solución

Para resolver este problema, utilizaremos el método del complemento. Calcularemos el número total de maneras sin restricciones y le restaremos el número de maneras en que las 2 personas específicas (llamémoslas X, Y) sí se sientan una después de la otra.

1. El número total de maneras de formar 6 personas sin restricciones es 720 (calculado en el apartado a)).
2. Ahora, calculamos el número de maneras en que las 2 personas específicas (X, Y) sí se sientan juntas. Tratamos a X e Y como un único bloque. Las otras 4 personas (P1, P2, P3, P4) son individuos separados.

• Las 2 personas dentro del bloque (X, Y) pueden ordenarse internamente de 2! maneras:

2! = 2 × 1 = 2 maneras.

Ahora, tenemos 5 "elementos" para ordenar: el bloque de las 2 personas juntas y las otras 4 personas individuales. Estos 5 elementos pueden ordenarse de 5! maneras:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 maneras.

Aplicando el Principio de Multiplicación, el número total de maneras en que las 6 personas pueden alinearse con las 2 específicas juntas es:

Maneras con X e Y juntas = 2! × 5! = 2 × 120 = 240 maneras.

Finalmente, para encontrar el número de maneras en que las 2 personas específicas rehúsan seguir una a la otra, restamos este valor del total de maneras:

Maneras con X e Y separadas = Total de maneras - Maneras con X e Y juntas

Maneras con X e Y separadas = 720 - 240 = 480 maneras.

Problema 2.35: Disposición de Casas con Diseños Únicos en Lotes

Colocación de 9 casas con diseños diferentes en 9 lotes

Solución

Este problema implica la disposición de 9 casas distintas en 9 lotes distintos. El orden en que se colocan las casas es relevante, ya que cada casa tiene un diseño diferente y cada lote es una posición única. Por lo tanto, se trata de una permutación de 9 elementos.

Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones, el número de formas en que se pueden colocar las 9 casas en los 9 lotes es:

9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362,880 maneras.

Problema 2.37: Alternancia de Niños y Niñas en una Fila

Disposición de 4 niños y 5 niñas alternados en una fila

Solución

Para que los niños y las niñas se alternen en una fila, y dado que hay 5 niñas (G) y 4 niños (B), la única configuración posible es que las niñas ocupen las posiciones impares y los niños las posiciones pares, comenzando y terminando con una niña:

G B G B G B G B G

1. Las 5 niñas pueden sentarse en sus 5 posiciones designadas de 5! maneras diferentes. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 maneras.

Los 4 niños pueden sentarse en sus 4 posiciones designadas de 4! maneras diferentes. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras.

Finalmente, aplicando el Principio de Multiplicación (o Teorema 2.1 de Multiplicación), el número total de maneras de sentar a los niños y niñas de forma alternada es el producto de las maneras de sentar a cada grupo:

Total de maneras = 5! × 4! = 120 × 24 = 2880 maneras.

Problema 2.38: Disposición de Matrimonios en un Concierto

Cuatro matrimonios (8 personas) compran 8 lugares en una fila

Solución

a) Sin restricciones

Si no hay restricciones, las 8 personas (4 matrimonios, es decir, 8 individuos distintos) pueden sentarse en 8 lugares de una fila de cualquier manera. Este es un problema de permutaciones de 8 elementos distintos.

Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones, el número de maneras es:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320 maneras.

b) Si cada pareja se sienta junta

Si cada pareja debe sentarse junta, podemos considerar a cada matrimonio como un único bloque. Hay 4 matrimonios, por lo que tenemos 4 bloques para organizar.

1. Los 4 matrimonios (bloques) pueden ordenarse entre sí de 4! maneras:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras.

Dentro de cada matrimonio, los dos cónyuges pueden intercambiar sus posiciones (por ejemplo, Hombre-Mujer o Mujer-Hombre). Esto significa 2! = 2 maneras para cada pareja. Dado que hay 4 parejas, el número total de arreglos internos es 2⁴:

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 maneras.

Aplicando el Principio de Multiplicación, el número total de maneras en que las 4 parejas pueden sentarse juntas es el producto de las maneras de ordenar los bloques y las maneras de ordenar internamente cada bloque:

Total de maneras = 4! × 2⁴ = 24 × 16 = 384 maneras.

c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres

Esta condición implica que hay dos bloques fijos: el bloque de todas las mujeres y el bloque de todos los hombres, y el bloque de hombres debe estar a la derecha del bloque de mujeres. Es decir, la disposición es [Mujeres][Hombres].

1. Las 4 mujeres pueden sentarse entre sí de 4! maneras diferentes. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras.

Los 4 hombres pueden sentarse entre sí de 4! maneras diferentes. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras.

Dado que la posición relativa de los bloques (mujeres a la izquierda, hombres a la derecha) es fija, aplicamos el Principio de Multiplicación (o Teorema 2.1 de Multiplicación) para combinar las disposiciones internas de cada grupo:

Total de maneras = 4! × 4! = 24 × 24 = 576 maneras.