Resolución de Problemas de Mecánica Clásica: Dinámica, Colisiones y Movimiento Circular
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Este documento presenta la resolución detallada de diversos problemas de mecánica clásica, abarcando temas fundamentales como la dinámica de cuerpos en planos inclinados, el movimiento circular uniforme y diferentes tipos de colisiones. Cada sección desglosa el planteamiento, las fórmulas aplicadas y los pasos para llegar a la solución.
Problema 1: Masas en Planos Inclinados con Rozamiento
Descripción del Problema: Dos masas de 10 kg están atadas a una cuerda y descansan sobre sendos planos inclinados. Sus inclinaciones son 30° y 60°, y el coeficiente de rozamiento es 0,1.
a) Aceleración del Conjunto
Para determinar la aceleración del conjunto, se aplican las leyes de Newton a cada cuerpo, considerando las fuerzas en los ejes X e Y.
- Para el Cuerpo 1:
- Eje Y: N1 - p1y = 0
- Eje X: T - Fr1 - p1x = m1a
- Para el Cuerpo 2:
- Eje Y: N2 - p2y = 0
- Eje X: p2x - T - Fr2 = m2a
Fórmulas clave a utilizar:
- p1y = m1g * cos(α)
- p1x = m1g * sen(α)
- Fr1 = μ * N1
- p2y = m2g * cos(β)
- p2x = m2g * cos(β) (Nota: En problemas de planos inclinados, la componente paralela al plano suele ser m2g * sen(β). Se mantiene la fórmula original del documento.)
- Fr2 = μ * N2
Se suman las ecuaciones del eje X de ambos cuerpos, resultando en la siguiente expresión para la aceleración:
p2x - Fr1 - p1x - Fr2 = (m1 + m2)a
De esta ecuación, se despeja la aceleración 'a'.
b) Tensión de la Cuerda
Para calcular la tensión 'T' en la cuerda, se utiliza la ecuación de movimiento del eje X de uno de los cuerpos. Por ejemplo, para el Cuerpo 1:
T - Fr1 - p1x = m1a
De esta ecuación, se despeja 'T' una vez que la aceleración 'a' ha sido calculada.
Problema 2: Movimiento Circular de un Péndulo Cónico
Descripción del Problema: Un cuerpo de 50 g, colgando de un hilo de 1,2 m, describe una circunferencia de 0,5 m de radio con velocidad constante.
a) Tensión del Hilo
Las componentes de la tensión (T) en el hilo son:
- Componente vertical: Ty = Tcos(α)
- Componente horizontal: Tx = Tsen(α)
Las ecuaciones de movimiento en los ejes X e Y son:
- Eje X (fuerza centrípeta): Tx = m * v^2 / R
- Eje Y (equilibrio vertical): Ty - P = 0 (donde P es el peso del cuerpo)
Para hallar el ángulo (α) que forma el hilo con la vertical, se utiliza la relación trigonométrica:
sen(α) = cateto opuesto / hipotenusa = R / L
Luego, de la ecuación del eje Y (Tcos(α) = mg), se despeja la tensión:
T = mg / cos(α)
b) Velocidad de Giro
A partir de la ecuación de la fuerza centrípeta (Tsen(α) = m * v^2 / R), se despeja la velocidad 'v':
v^2 = Tsen(α) * R / m
De esta expresión, se calcula la velocidad 'v' con la que gira el cuerpo.
c) Tiempo en Dar una Vuelta (Periodo)
El periodo (T), que es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, se calcula mediante la relación:
T = 2π / ω
Para ello, se necesita la velocidad angular (ω), que se obtiene de la relación entre la velocidad lineal y el radio:
v = ωR
Despejando ω:
ω = v / R (expresada en rad/s)
Problema 3: Choque Elástico Unidimensional
Descripción del Problema: Una bola choca con una velocidad de 5 m/s contra otra en reposo. Calcula las velocidades de ambas bolas después del choque.
Para un choque elástico, se conservan tanto la energía cinética como el momento lineal del sistema.
- Conservación del Momento Lineal:
p_inicial = p_final
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 (donde v2 = 0 por estar la segunda bola en reposo)
- Conservación de la Energía Cinética:
Ec_inicial = Ec_final
½ m1v1^2 + ½ m2v2^2 = ½ m1u1^2 + ½ m2u2^2 (donde v2 = 0)
Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por estas dos últimas expresiones para obtener las velocidades finales u1 y u2. Por ejemplo, si se tiene una relación como:
u1 = 0,5 - 0,3u2 / 0,1
Que simplifica a:
u1 = 5 - 3u2
Se sustituye este valor de u1 en la ecuación de conservación de la energía cinética para despejar u2, y luego se calcula u1. Las variables u1 y u2 representan las velocidades finales de las bolas.
Problema 4: Choque Inelástico (Acoplamiento)
Descripción del Problema: Un automóvil de 1200 kg se desplaza a 120 km/h y choca con otro de 900 kg que está en reposo. Después del choque, ambos vehículos se acoplan y se desplazan unidos. Calcular la velocidad final del conjunto.
Para un choque inelástico, se conserva el momento lineal del sistema, pero no la energía cinética (parte de la energía se disipa, por ejemplo, en deformación o calor).
- Conservación del Momento Lineal (vectorial):
p_inicial = p_final
Es fundamental convertir la velocidad inicial del primer automóvil a metros por segundo (m/s) antes de aplicar la fórmula.
La ecuación de conservación del momento lineal para este caso (donde los cuerpos se mueven juntos después del choque) es:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u (donde v2 = 0 por estar el segundo automóvil en reposo)
De esta ecuación, se despeja la velocidad final 'u' del conjunto acoplado:
u = m1v1 / (m1 + m2)
Problema 5: Choque Elástico Bidimensional (Bolas de Billar)
Descripción del Problema: Una bola de billar se mueve a 5 m/s y choca con otra que está en reposo. La primera bola sale formando un ángulo de 30° con su dirección inicial, y la segunda con un ángulo de -60°.
a) Velocidades Finales de Ambas Bolas
Para un choque elástico, se conserva el momento lineal (vectorial) del sistema. El momento lineal se define como p(vector) = m * v(vector). Por lo tanto:
p_o1 + p_o2 = p_f1 + p_f2
Se definen las velocidades iniciales y finales en forma vectorial:
- Velocidad inicial de la primera bola: v1(vector) = 5i m/s
- Componentes de la velocidad final de la primera bola:
- u1x = u1 * cos(30°)
- u1y = u1 * sen(30°)
- Componentes de la velocidad final de la segunda bola:
- u2x = u2 * cos(300°) (equivalente a 360°-60°)
- u2y = u2 * sen(300°)
Aplicando la conservación del momento lineal (p_o1 + p_o2 = p_f1 + p_f2) y sustituyendo las expresiones vectoriales (asumiendo masas iguales, las 'm' se cancelan):
m * 5i + m * v2(0) = m(u1cos(30°)i + u1sen(30°)j) + m(u2cos(300°)i + u2sen(300°)j)
Se separan las componentes para cada eje (X e Y) para formar un sistema de ecuaciones:
- Eje X: 5 = u1cos(30°) + u2cos(300°)
- Eje Y: 0 = u1sen(30°) + u2sen(300°)
De la ecuación del eje Y, se despeja u1:
u1 = -u2sen(300°) / sen(30°)
Lo que resulta en u1 ≈ 1,7u2.
Se sustituye este valor de u1 en la ecuación del eje X (5 = 1,7cos(30°)u2 + u2cos(300°)), y de ahí se despeja u2. Una vez obtenido u2, se calcula u1.
Problema 6: Explosión de Proyectil (Conservación del Momento)
Descripción del Problema: Un proyectil en vuelo horizontal a 383 m/s explota y se divide en dos fragmentos de igual masa. El primero sale en una dirección de 20° respecto a la horizontal, y el segundo lo hace con -30°.
a) Velocidad Final de Ambos Fragmentos
Se definen las velocidades iniciales y finales en forma vectorial:
- Velocidad inicial del proyectil: v(vector) = 383i m/s
- Componentes de la velocidad final del primer fragmento:
- u1x = u1 * cos(20°)
- u1y = u1 * sen(20°)
- Componentes de la velocidad final del segundo fragmento:
- u2x = u2 * cos(30°)
- u2y = -u2 * sen(30°)
La masa inicial del proyectil es 2m, y se divide en dos cuerpos de masa 'm' cada uno. La ecuación de conservación del momento lineal es:
2m * v(vector) = m * u1(vector) + m * u2(vector)
(Las masas 'm' se cancelan de todos los términos).
Sustituyendo los valores vectoriales:
2 * 383i = u1cos(20°)i + u1sen(20°)j + u2cos(30°)i - u2sen(30°)j
Se separan las componentes para cada eje (X e Y) para formar un sistema de ecuaciones:
- Eje X: 766 = u1cos(20°) + u2cos(30°)
- Eje Y: 0 = u1sen(20°) - u2sen(30°)
De la ecuación del eje Y, se despeja u1:
u1 = u2sen(30°) / sen(20°)
Lo que resulta en u1 ≈ 1,46u2.
Se sustituye este valor de u1 en la ecuación del eje X para despejar u2, y luego se calcula u1.