Resolución de Problemas de Campo Eléctrico y Potencial: Ejercicios Prácticos

Corrección y Estructuración de Ejercicios de Electrostática

A continuación, se presenta la corrección y organización del documento original, enfocándose en la claridad, la notación científica estándar y la estructura matemática.

Sección de Problemas Numéricos (Bloque B)

Problema 3: Campo Eléctrico y Potencial en Puntos Específicos

Cálculo del campo eléctrico ($\vec{E}$) y el potencial ($V$) en el origen (0,0) y en el punto $P(1,2)$.

Cálculo en el Origen (0,0)

• Campo generado por $q_1$: $\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^2} \hat{u}_1$. (Se asume que la notación original $\vec{E}_1=...(-j)$ indica la dirección del vector unitario).
• Campo generado por $q_2$: $\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^2} \hat{u}_2$. (Se asume que la notación original $\vec{E}_2=...(i)$ indica la dirección del vector unitario).
• Campo Resultante: $\vec{E} = K [4e^{-6}\hat{i} - 0.5e^{-6}\hat{j}] \text{ N/C}$. (Se corrige la notación de exponentes y vectores unitarios $\hat{i}, \hat{j}$).
• Módulo del Campo: $|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + (0.5)^2} \times 10^{-6} = \sqrt{16.25} \times 10^{-6} \approx 4.031 \times 10^{-6} \text{ N/C}$. (Se corrige la notación del módulo, asumiendo que $4$ y $0.5$ son los componentes escalados por $e^{-6}$).
• Ángulo ($\alpha$): $\tan\alpha = \frac{0.5}{4} = 0.125 \implies \alpha = 7^{\circ} 7' 30''$.

Cálculo en el Punto $P(1,2)$

• Campo Resultante: $\vec{E} = K [2e^{-6}\hat{i} - 1e^{-6}\hat{j}] \text{ N/C}$.
• Módulo del Campo: $|\vec{E}| = \sqrt{2^2 + 1^2} \times 10^{-6} = \sqrt{5} \times 10^{-6} \approx 2.236 \times 10^{-6} \text{ N/C}$.
• Ángulo ($\alpha$): $\tan\alpha = \frac{1}{2} = 0.5 \implies \alpha = 26^{\circ} 33' 54''$.

Potencial y Trabajo en (0,0)

Asumiendo $q_1$ y $q_2$ son las cargas que generan el campo.

• Potencial en el Origen: $V(0,0) = V_1 + V_2 = K \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)$.
• Sustituyendo valores (asumiendo $r_1=2$ y $r_2=1$ metros, y $q_1=2\times 10^{-6}\text{ C}$, $q_2=-4\times 10^{-6}\text{ C}$):
  $V(0,0) = 9\times 10^9 \left( \frac{2\times 10^{-6}}{2} - \frac{4\times 10^{-6}}{1} \right) = 9\times 10^9 (-3\times 10^{-6}) = -27\times 10^3 \text{ Voltios}$.
• Potencial en $P$: $V_P = 9\times 10^9 \left( \frac{2\times 10^{-6}}{1} - \frac{4\times 10^{-6}}{2} \right) = 0 \text{ Voltios}$.
• Trabajo ($W$) para desplazar $q' = -3\times 10^{-6}\text{ C}$ desde $O$ hasta $P$:
  $W_{O \to P} = q'(V_P - V_O) = (-3\times 10^{-6}) (0 - (-27\times 10^3)) = -81\times 10^{-3} \text{ Joules}$.
• Interpretación: El trabajo realizado por una fuerza externa es $W_{\text{ext}} = -W_{\text{elec}}$. El trabajo calculado es negativo, lo que significa que la fuerza eléctrica realiza trabajo positivo, o que la fuerza externa debe realizar trabajo negativo. El texto original indica "Trabajo positivo (motor)" y luego contradice la interpretación física estándar. Si $W_{\text{elec}} = -81\times 10^{-3} \text{ J}$, el campo realiza trabajo negativo. Si se calcula el trabajo externo, $W_{\text{ext}} = 81\times 10^{-3} \text{ J}$.

Problema 4: Equilibrio de Fuerzas sobre una Carga

Una carga $q'$ está sometida a tres fuerzas en equilibrio: Fuerza Eléctrica ($F_{\text{elec}}$), Peso ($P$) y Tensión ($T$).

Datos Iniciales

• Masa: $m = 1\times 10^{-3}\text{ kg}$.
• Carga: $q' = 0.1\times 10^{-6}\text{ C}$.
• Módulo del Campo Eléctrico: $|\vec{E}_{\text{elec}}| = 500\text{ N/C}$.
• Condición de Equilibrio: $\vec{F}_{\text{elec}} + \vec{P} + \vec{T} = 0$ (vectorial).

Cálculo de Módulos

• Módulo del Peso: $|\vec{P}| = m \cdot g = (1\times 10^{-3}\text{ kg}) \cdot (9.8\text{ m/s}^2) = 9.8\times 10^{-3}\text{ N}$.
• Módulo de la Fuerza Eléctrica: $|\vec{F}_{\text{elec}}| = |q'| \cdot |\vec{E}_{\text{elec}}| = (0.1\times 10^{-6}\text{ C}) \cdot (500\text{ N/C}) = 500\times 10^{-7}\text{ N} = 5\times 10^{-5}\text{ N}$.

Relaciones Trigonométricas (Asumiendo que $T$ forma un ángulo $\phi$ con la horizontal)

Para el equilibrio, las componentes deben anularse:

Horizontalmente: $T_x = F_{\text{elec}}$

Verticalmente: $T_y = P$

Si definimos $T$ como la hipotenusa del triángulo de fuerzas:

$$\begin{cases} |F_{\text{elec}}| = |T| \sin\phi \\ |P| = |T| \cos\phi \end{cases}$$

Dividiendo las ecuaciones:

$$\frac{|F_{\text{elec}}|}{|P|} = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \tan\phi$$

Sustituyendo valores:

$$\tan\phi = \frac{5\times 10^{-5}\text{ N}}{9.8\times 10^{-3}\text{ N}} \approx 0.005102$$

Ángulo $\phi$: $\phi = \arctan(0.005102) \approx 0^{\circ} 17' 32''$.

Sección de Problemas Numéricos (Bloque A)

Problema con Cargas $q_1$ y $q_2$

Datos: $q_1 = 3\times 10^{-6}\text{ C}$, $q_2 = -4\times 10^{-6}\text{ C}$, Distancia $L = 2\times 10^{-2}\text{ m}$.

Cálculo del Campo Eléctrico Resultante ($\vec{E}$)

Se asume que las cargas están separadas por $L$, y se calcula el campo en un punto equidistante ($d = L/2 = 1\times 10^{-2}\text{ m}$) sobre la línea que las une, o en un punto específico donde se usan ángulos de $60^{\circ}$ y $300^{\circ}$ (o $-60^{\circ}$).

Cálculo de $\vec{E}_1$ (por $q_1$)

El término $K/d^2$ es: $\frac{9\times 10^9}{(1\times 10^{-2})^2} = 9\times 10^{13}$.

El término $q_1$ escalado es: $q_1 \cdot K/d^2 = (3\times 10^{-6}) \cdot (9\times 10^{13}) = 27\times 10^7$.

El cálculo original parece usar un factor de escala diferente o una distancia incorrecta en el denominador, pero se mantiene la estructura presentada:

$$\vec{E}_1 = \frac{9\times 10^9}{(2\times 10^{-2})^2} [3\times 10^{-6} \cos(60^{\circ})\hat{i} + 3\times 10^{-6} \sin(60^{\circ})\hat{j}]$$ (Esto no coincide con los resultados dados, se usa la notación del documento para la corrección formal):

• $\vec{E}_1 = 3.375\times 10^7 \hat{i} + 5.846\times 10^7 \hat{j} \text{ N/C}$.

Cálculo de $\vec{E}_2$ (por $q_2$)

El término $q_2$ escalado es: $|q_2| \cdot K/d^2 = (4\times 10^{-6}) \cdot (9\times 10^{13}) = 36\times 10^7$.

Usando los ángulos $300^{\circ}$ (que implica $\cos(300^{\circ}) = 0.5$ y $\sin(300^{\circ}) = -\sqrt{3}/2 \approx -0.866$):

• $\vec{E}_2 = 4.5\times 10^7 \hat{i} - 7.794\times 10^7 \hat{j} \text{ N/C}$.

Campo Resultante $\vec{E}$

$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (3.375 + 4.5)\times 10^7 \hat{i} + (5.846 - 7.794)\times 10^7 \hat{j}$$ $$\vec{E} = 7.875\times 10^7 \hat{i} - 1.948\times 10^7 \hat{j} \text{ N/C}$$ (Se corrige la notación de exponentes).

Módulo del Campo Resultante

$$|\vec{E}| = \sqrt{(7.875\times 10^7)^2 + (-1.948\times 10^7)^2} \approx 8.112\times 10^7 \text{ N/C}$$

Cálculo del Potencial y Trabajo

Potencial Eléctrico ($V$)

Asumiendo que el punto de interés está a una distancia $d = L = 2\times 10^{-2}\text{ m}$ de ambas cargas (lo cual es inconsistente con el cálculo anterior, pero se sigue la fórmula presentada):

$$V = \frac{K}{d} (q_1 + q_2) = \frac{9\times 10^9}{2\times 10^{-2}} (3\times 10^{-6} - 4\times 10^{-6})$$ $$V = 4.5\times 10^{11} (-1\times 10^{-6}) = -4.5\times 10^5 \text{ Voltios}$$ (Se corrige la notación de exponentes).

Trabajo ($W$)

Trabajo para mover $q' = 6\times 10^{-6}\text{ C}$:

$$W = q' V = (6\times 10^{-6}\text{ C}) \cdot (-4.5\times 10^5 \text{ V}) = -2.7 \text{ Joules}$$

Interpretación: El trabajo es negativo ($W < 0$). Esto indica que el campo eléctrico realiza trabajo positivo ($W_{\text{elec}} > 0$), o que el trabajo externo requerido es resistente ($W_{\text{ext}} < 0$). La justificación dada es correcta: las cargas positivas tienden a moverse de zonas de potencial mayor a menor. Como $V$ es negativo, el movimiento de $q'$ (positiva) hacia esa zona implica que se mueve hacia potencial menor, y el campo realiza trabajo positivo.

Problema 2: Movimiento bajo Campo Uniforme

Campo: $\vec{E} = 600\hat{j} \text{ N/C}$. Carga $q_p$ (se asume $q_p = 5\times 10^{-6}\text{ C}$ por el cálculo de trabajo).

a) Movimiento y Energía

• Fuerza Eléctrica: $\vec{F}_{\text{elec}} = q_p \vec{E} = (5\times 10^{-6}) (600\hat{j}) = 3\times 10^{-3}\hat{j} \text{ N}$.
• Aceleración: $\vec{a} = \vec{F}/m$. Como la fuerza es constante y paralela al eje $y$, la partícula describe un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) a lo largo del eje $y$ y en dirección hacia arriba (positiva).
• Energía: La energía potencial eléctrica ($U$) disminuye, ya que se transforma en energía cinética ($E_c$).

b) Trabajo y Potencial

Trabajo realizado por la fuerza eléctrica entre $y=0$ y $y=2\text{ m}$ (desplazamiento $S=2\text{ m}$ en la dirección del campo):

$$W = |\vec{F}_{\text{elec}}| \cdot S \cdot \cos(0^{\circ}) = |q_p| |\vec{E}| S$$ $$W = (5\times 10^{-6}\text{ C}) \cdot (600\text{ N/C}) \cdot (2\text{ m}) = 6\times 10^{-3} \text{ Joules}$$

Potencial Eléctrico ($\Delta V$):

$$W = q_p \Delta V \implies \Delta V = \frac{W}{q_p} = \frac{6\times 10^{-3}\text{ J}}{5\times 10^{-6}\text{ C}} = 1200 \text{ Voltios}$$

Sección de Teoría (Teoremas A y B)

Teorema A: Propiedades del Campo Eléctrico

1. Campo de una Carga Puntual: $\vec{E} = k\frac{q}{d^2} \hat{u}$. El campo es radial y, en teoría, se extiende hasta el infinito. Experimentalmente, su influencia se limita por la capacidad de medición o por la presencia de otros campos.
2. Campo Nulo entre Dos Cargas de Igual Magnitud y Signo: El campo eléctrico será nulo en el punto medio del segmento que conecta las dos cargas. En este punto, las contribuciones de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ son iguales en magnitud pero opuestas en dirección, resultando en $\vec{E}_{\text{total}} = 0$.
3. Relación entre Fuerza, Potencial y Energía:
   • Fuerza: $\vec{F} = q\vec{E}$. Es la fuerza que experimenta una carga $q$ en un campo $\vec{E}$.
   • Potencial Eléctrico ($V$): $V = W/q$. Es el trabajo por unidad de carga necesario para mover una carga de prueba desde el infinito hasta un punto.
   • Energía Potencial Eléctrica ($U$): $U = qV$. Es el trabajo que se necesita realizar para traer una carga $q$ desde el infinito hasta el punto de referencia. (Nota: El texto original confunde $U$ con energía elástica, lo cual es incorrecto en este contexto).

Teorema B: Energía Potencial y Potencial

1. Relación entre Energía Potencial y Potencial:

   La energía potencial electrostática ($U$) en un punto se obtiene mediante el producto de la carga ($q$) por el potencial eléctrico ($V$) en ese punto: $U = qV$.

   Si tenemos dos puntos $a$ y $b$ con $V_a > V_b$, el cambio en la energía potencial es $\Delta U = U_a - U_b = q(V_a - V_b)$.

   • Si $q > 0$: $V_a > V_b \implies U_a > U_b$. La carga tiende a moverse hacia potencial menor.
   • Si $q < 0$: $V_a > V_b \implies qV_a < qV_b \implies U_a < U_b$. La carga tiende a moverse hacia potencial mayor.
2. Campo Nulo (Repetición/Confirmación):

   Para una carga puntual, $\vec{E} = k\frac{q}{d^2} \hat{u}$. El campo solo es nulo teóricamente en el infinito. Experimentalmente, su alcance es limitado.

   Para dos cargas de igual magnitud y signo, el campo es nulo en el punto medio de la línea que las conecta, debido a la cancelación vectorial de las fuerzas eléctricas.