Resolución de Problemas de Cálculo: Funciones, Derivadas e Integrales Aplicadas

Problema 1: Precio de la Palta y Temperatura

El precio por kg de palta depende de la cantidad producida durante la temporada, esto según la función P(c) = 1300 - 4c, donde c es la cantidad en miles de unidades. La temperatura promedio t, en grados Celsius, durante la temporada, influye en la cantidad de paltas producidas de acuerdo a la función c(t) = -t²/3 + 10t + 5 (en miles de unidades).

a) Determinar e interpretar p(t)

Para encontrar p(t), sustituimos la función c(t) en la función P(c):

p(t) = P(c(t)) = 1300 - 4 * c(t)

p(t) = 1300 - 4 * (-t²/3 + 10t + 5)

p(t) = 1300 + (4/3)t² - 40t - 20

p(t) = (4/3)t² - 40t + 1280

Interpretación: La función p(t) representa el precio por kilogramo de palta como una función directa de la temperatura promedio t durante la temporada.

b) ¿Cuál sería el precio del kg de palta si la temperatura promedio durante la temporada fue de 10°C?

Evaluamos la función p(t) en t = 10:

p(10) = (4/3)(10)² - 40(10) + 1280

p(10) = (4/3)(100) - 400 + 1280

p(10) = 400/3 - 400 + 1280

p(10) ≈ 133.33 - 400 + 1280

p(10) ≈ 1013.33

Usando el cálculo intermedio del texto original: p(10) = 1300 - 4 * (-10²/3 + 10*10 + 5) = 1300 - 4 * (-100/3 + 100 + 5) = 1300 - 4 * (-33.33... + 105) = 1300 - 4 * (71.66...) ≈ 1300 - 286.67 ≈ 1013.33.

Respuesta: El precio del kg de palta será de aproximadamente $1013 si la temperatura promedio es de 10°C.

Problema 2: Posición, Velocidad y Aceleración de un Automóvil

Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante 6 horas, de modo que su posición en km es dada por la función p(x) = (1/96)x⁴ - (2/3)x³ + 12.5x², transcurridas x horas.

a) Determinar e interpretar p'(3) (Velocidad)

Primero, encontramos la función de velocidad derivando p(x):

p'(x) = d/dx [(1/96)x⁴ - (2/3)x³ + 12.5x²]

p'(x) = (4/96)x³ - (6/3)x² + (2 * 12.5)x

p'(x) = (1/24)x³ - 2x² + 25x

Ahora, evaluamos la velocidad en x = 3 horas:

p'(3) = (1/24)(3)³ - 2(3)² + 25(3)

p'(3) = (1/24)(27) - 2(9) + 75

p'(3) = 27/24 - 18 + 75

p'(3) = 1.125 - 18 + 75 = 58.125

Interpretación: La velocidad instantánea del automóvil a las 3 horas es de 58.125 km/h. (El valor original de 58.13 km es aceptable como redondeo).

b) Determinar e interpretar p''(3) (Aceleración)

Encontramos la función de aceleración derivando p'(x):

p''(x) = d/dx [(1/24)x³ - 2x² + 25x]

p''(x) = (3/24)x² - 4x + 25

p''(x) = (1/8)x² - 4x + 25

Evaluamos la aceleración en x = 3 horas:

p''(3) = (1/8)(3)² - 4(3) + 25

p''(3) = (1/8)(9) - 12 + 25

p''(3) = 9/8 - 12 + 25

p''(3) = 1.125 - 12 + 25 = 14.125

Interpretación: La aceleración del automóvil a las 3 horas es de 14.125 km/h². (Nota: El valor original de 38.125 parece ser un error de cálculo).

Problema 3: Proyección de Utilidades de una Empresa

La proyección de las utilidades de cierta empresa dentro de los próximos 3 años es dada por la función p(x) = (25/27)x³ + 2.5x² + 1.8, en millones de dólares, transcurridos x años. (Se asume que el término es 2.5x² y no 2.5²).

a) Determinar el dominio empírico de la función

Dado que el análisis es para los próximos 3 años, el tiempo x varía desde el inicio (año 0) hasta el final del tercer año (año 3).

Respuesta: El dominio empírico es el intervalo [0, 3].

b) ¿Durante qué períodos las utilidades disminuyen?

(Pregunta planteada en el original, requiere encontrar dónde p'(x) < 0 en [0, 3]. No resuelta en el texto original).

c) ¿Cuándo se observa la mayor utilidad y cuál es su valor?

(Pregunta planteada en el original, requiere encontrar el máximo absoluto de p(x) en [0, 3]. No resuelta en el texto original).

Problema 4: Función de Ingreso a partir del Ingreso Marginal

Una empresa importadora estima que su ingreso marginal IM(x) en miles de dólares, por vender x productos, se puede determinar con la función IM(x) = e^-0.2x + 0.02x + 1.

Encuentra la función ingreso I(x), teniendo en cuenta que el ingreso por vender 40 productos corresponde a 61,000 dólares (es decir, I(40) = 61 miles de dólares).

Solución:

La función de ingreso I(x) se obtiene integrando la función de ingreso marginal IM(x):

I(x) = ∫ IM(x) dx = ∫ (e^-0.2x + 0.02x + 1) dx

I(x) = (e^-0.2x / -0.2) + (0.02x² / 2) + x + C

I(x) = -5e^-0.2x + 0.01x² + x + C

Ahora, usamos la condición I(40) = 61 para encontrar la constante de integración C:

61 = -5e^{-0.2 * 40} + 0.01(40)² + 40 + C

61 = -5e^-8 + 0.01(1600) + 40 + C

61 = -5e^-8 + 16 + 40 + C

61 = -5e^-8 + 56 + C

C = 61 - 56 + 5e^-8

C = 5 + 5e^-8

Dado que e^-8 es muy pequeño (aproximadamente 0.000335), 5e^-8 ≈ 0.001677.

C ≈ 5 + 0.001677 ≈ 5.0017

Usando el valor redondeado del original, C = 5.002.

La función ingreso es:

I(x) = -5e^-0.2x + 0.01x² + x + 5.002 (en miles de dólares)

Problema 5: Excedente de los Productores

La función de oferta para un nivel de venta de x calculadoras, modelo fx-82ES, está dada por: G(x) = 2x² + 2x + 7600 pesos por unidad. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 12 calculadoras.

Solución:

1. Nivel de venta: x₀ = 12

2. Precio de equilibrio (precio de mercado) para x₀:

p₀ = G(x₀) = G(12)

p₀ = 2(12)² + 2(12) + 7600

p₀ = 2(144) + 24 + 7600

p₀ = 288 + 24 + 7600 = 7912

3. Ingreso total al precio de equilibrio:

Ingreso = x₀ * p₀ = 12 * 7912 = 94944

4. Costo variable total (integral de la oferta):

∫₀^x₀ G(x) dx = ∫₀¹² (2x² + 2x + 7600) dx

= [ (2x³/3) + (2x²/2) + 7600x ]₀¹²

= [ (2/3)x³ + x² + 7600x ]₀¹²

= [ ((2/3)(12)³ + (12)² + 7600(12)) - (0) ]

= [ (2/3)(1728) + 144 + 91200 ]

= [ 1152 + 144 + 91200 ] = 92496

5. Excedente de los Productores (EP):

EP = Ingreso total - Integral de la oferta

EP = 94944 - 92496 = 2448

Respuesta: El excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 12 calculadoras es de $2448.

Problema 6: Temperatura Nocturna en Santiago

Se analiza la temperatura en una noche de invierno en Santiago a partir de la medianoche (h=0) y hasta las 7 de la madrugada (h=7). La temperatura en grados Celsius está dada por la función t(h) = 0.41h² - 3.24h + 6, donde h son las horas transcurridas desde la medianoche.

a) ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la madrugada (h=4)?

Evaluamos la función t(h) en h = 4:

t(4) = 0.41(4)² - 3.24(4) + 6

t(4) = 0.41(16) - 12.96 + 6

t(4) = 6.56 - 12.96 + 6 = -0.4

Respuesta: La temperatura a las 4 de la madrugada fue de -0.4°C.

b) Determinar la temperatura promedio durante todo el análisis (de h=0 a h=7)

La temperatura promedio T_promedio se calcula mediante la integral definida:

T_promedio = (1 / (7 - 0)) * ∫₀⁷ t(h) dh

T_promedio = (1/7) * ∫₀⁷ (0.41h² - 3.24h + 6) dh

Calculamos la integral definida:

∫₀⁷ (0.41h² - 3.24h + 6) dh = [ (0.41h³/3) - (3.24h²/2) + 6h ]₀⁷

= [ (0.41/3)h³ - 1.62h² + 6h ]₀⁷

= [ ((0.41/3)(7)³ - 1.62(7)² + 6(7)) - (0) ]

= [ (0.41/3)(343) - 1.62(49) + 42 ]

= [ 140.63/3 - 79.38 + 42 ]

≈ [ 46.877 - 79.38 + 42 ] ≈ 9.497

Ahora calculamos el promedio:

T_promedio = (1/7) * 9.497 ≈ 1.3567

Respuesta: La temperatura promedio entre la medianoche y las 7 de la madrugada fue de aproximadamente 1.36°C.