Resolución de Problemas de Cálculo Diferencial: Funciones, Derivadas y Puntos Clave

Problema 1: Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente

Sea la función definida a trozos:

f (x) =

• 1/(2-x) si x < 1
• x² - 6x + 6 si x ≥ 1

a) Continuidad y Derivabilidad

La función racional 1/(2-x) es continua y derivable en ℝ - {2}. La función polinómica x² - 6x + 6 es continua y derivable en ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, x = 1.

Estudio de la Continuidad en x = 1:

• Límite de x cuando tiende a 1 por la izquierda de 1/(2-x) = 1.
• Límite de x cuando tiende a 1 por la derecha de x² - 6x + 6 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(1) = 1² - 6(1) + 6 = 1.

Dado que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha y ambos son iguales a f(1), la función es continua en x = 1.

Estudio de la Derivabilidad en x = 1:

Calculamos la función derivada:

f '(x) =

• 1/(2-x)² si x < 1
• 2x - 6 si x > 1

Evaluamos las derivadas laterales en x = 1:

• f '(1⁻) = 1/(2-1)² = 1.
• f '(1⁺) = 2(1) - 6 = -4.

Dado que f '(1⁻) ≠ f '(1⁺), la función no es derivable en x = 1.

Por lo tanto, la función es continua en todo ℝ y derivable en ℝ - {1}.

b) Recta Tangente en x = 0

La ecuación de la recta tangente en un punto (x₀, f(x₀)) es y - f(x₀) = f '(x₀) · (x - x₀).

Para x = 0, la función utilizada es 1/(2-x) (ya que 0 < 1).

• Calculamos f(0): f(0) = 1/(2-0) = 1/2.
• Calculamos f '(0): f '(0) = 1/(2-0)² = 1/4.

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta tangente:

y - 1/2 = 1/4 · (x - 0)

y = (1/4)x + 1/2

Problema 2: Extremos Relativos y Recta Tangente de una Función Polinómica

Sea la función:

f (x) = (1/3)x³ + (1/2)x² - 2x + 3

a) Cálculo de Extremos Relativos

Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

f '(x) = x² + x - 2 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos x = -2 y x = 1.

Evaluamos la función en estos puntos para encontrar las coordenadas de los extremos:

• Para x = -2: f(-2) = (1/3)(-2)³ + (1/2)(-2)² - 2(-2) + 3 = -8/3 + 2 + 4 + 3 = -8/3 + 9 = 19/3.
• Para x = 1: f(1) = (1/3)(1)³ + (1/2)(1)² - 2(1) + 3 = 1/3 + 1/2 - 2 + 3 = 1/3 + 1/2 + 1 = 2/6 + 3/6 + 6/6 = 11/6.

Por lo tanto, la función tiene un máximo relativo en el punto (-2, 19/3) y un mínimo relativo en (1, 11/6).

b) Ecuación de la Recta Tangente a la Derivada en x = 2

La ecuación de la tangente se calcula para la función g(x) = f '(x) = x² + x - 2 en x = 2.

La fórmula es y - g(2) = g '(2) · (x - 2).

• Calculamos g(2): g(2) = 2² + 2 - 2 = 4.
• Calculamos la derivada de g(x): g '(x) = 2x + 1.
• Calculamos g '(2): g '(2) = 2(2) + 1 = 5.

Sustituyendo estos valores, obtenemos la ecuación de la recta tangente:

y - 4 = 5(x - 2)

y = 5x - 10 + 4

y = 5x - 6

c) Visualización de las Funciones

Se sugiere la representación gráfica de la función original f(x) y su derivada f '(x) para una mejor comprensión de sus propiedades.

Problema 3: Estudio Completo de una Función a Trozos

Sea la función:

f (x) =

• 2x² - 12 si x < -3
• -x + 3 si -3 ≤ x < 2
• x - 1 si x ≥ 2

a) Continuidad y Derivabilidad

Las funciones polinómicas 2x² - 12, -x + 3 y x - 1 son continuas y derivables en todo ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en los puntos de unión: x = -3 y x = 2.

Estudio de la Continuidad en x = -3:

• Límite de x cuando tiende a -3 por la izquierda de 2x² - 12 = 2(-3)² - 12 = 18 - 12 = 6.
• Límite de x cuando tiende a -3 por la derecha de -x + 3 = -(-3) + 3 = 3 + 3 = 6.
• Evaluación de la función en el punto: f(-3) = -(-3) + 3 = 6.

Dado que los límites laterales son iguales y coinciden con f(-3), la función es continua en x = -3.

Estudio de la Continuidad en x = 2:

• Límite de x cuando tiende a 2 por la izquierda de -x + 3 = -(2) + 3 = 1.
• Límite de x cuando tiende a 2 por la derecha de x - 1 = 2 - 1 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(2) = 2 - 1 = 1.

Dado que los límites laterales son iguales y coinciden con f(2), la función es continua en x = 2.

Estudio de la Derivabilidad en x = -3 y x = 2:

Calculamos la función derivada:

f '(x) =

• 4x si x < -3
• -1 si -3 < x < 2
• 1 si x > 2

Evaluamos las derivadas laterales en x = -3:

• f '(-3⁻) = 4(-3) = -12.
• f '(-3⁺) = -1.

Dado que f '(-3⁻) ≠ f '(-3⁺), la función no es derivable en x = -3.

Evaluamos las derivadas laterales en x = 2:

• f '(2⁻) = -1.
• f '(2⁺) = 1.

Dado que f '(2⁻) ≠ f '(2⁺), la función no es derivable en x = 2.

Por lo tanto, la función es continua en todo ℝ y derivable en ℝ - {-3, 2}.

b) Puntos Críticos y Extremos

Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero en cada tramo:

• Para x < -3: 4x = 0 &implies; x = 0. Este valor no está en el dominio de este tramo (x < -3), por lo que no hay puntos críticos en esta sección.
• Para -3 < x < 2: -1 = 0. Esto es una contradicción, por lo que no hay puntos críticos en este tramo.
• Para x > 2: 1 = 0. Esto es una contradicción, por lo que no hay puntos críticos en este tramo.

El texto original menciona: "Tiene un mínimo relativo en (2,1).". Es importante notar que x = 2 es un punto donde la función no es derivable (un pico o valle agudo). El valor f(2) = 1 es el valor de la función en ese punto. Aunque no es un mínimo encontrado por la anulación de la derivada, visualmente o por el cambio de pendiente (de -1 a 1), x = 2 es un punto donde la función alcanza un valor mínimo local.