Resolución Detallada de Problemas de Cinemática y Ecuaciones Diferenciales

1. Problema de Cinemática: Carrera de Autos (Jairo y Pedro)

La aceleración instantánea ($a$) se define como la segunda derivada de la distancia ($x$) respecto al tiempo ($t$):

$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = a $$

Integrando a ambos lados respecto a $t$, y considerando $a$ como una constante (cte), obtenemos la velocidad instantánea ($v$):

$$ v = \frac{dx}{dt} = at + c $$

Al inicio de la carrera, como ambos corredores parten del reposo, en $t=0$, $v=0$. Por lo tanto, $c=0$.

Integrando nuevamente respecto a $t$, se obtiene la posición:

$$ x = \frac{1}{2} at^2 + c_1 $$

En $t=0$, la posición inicial $x=0$, por lo que $c_1 = 0$. Así, la ecuación general de posición para los corredores es:

$$ X = \frac{1}{2} at^2 \quad \text{o} \quad t = \sqrt{\frac{2x}{a}} $$

Cálculo de la Aceleración y Tiempo de Pedro

La aceleración constante ($a$) tiene diferentes valores para cada conductor. Pedro cubre la última cuarta parte de la distancia total ($L$) en 3 segundos.

El tiempo total de Pedro ($T_p$) menos el tiempo que tarda en recorrer las primeras tres cuartas partes ($t_{3/4}$) es igual a 3 segundos:

$$ T_p - t_{3/4} = 3 = \sqrt{\frac{2L}{a_p}} - \sqrt{\frac{2(3L/4)}{a_p}} $$

Despejando la aceleración de Pedro ($a_p$):

$$ a_p = \left( \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3/2})^2}{9} \right) L $$

El tiempo total para que Pedro termine la carrera es:

$$ T_p = \sqrt{\frac{2L}{a_p}} = \frac{3}{(\sqrt{2} - \sqrt{3/2})} \sqrt{2} $$

Calculando el valor numérico:

$$ T_p = 12 + 6\sqrt{3} \approx 22.39 \text{ segundos} $$

Cálculo de la Aceleración y Tiempo de Jairo

Jairo cubre la última tercera parte de la distancia total ($L$) en 4 segundos.

El tiempo total de Jairo ($T_j$) menos el tiempo que tarda en recorrer las primeras dos terceras partes ($t_{2/3}$) es igual a 4 segundos:

$$ T_j - t_{2/3} = 4 = \sqrt{\frac{2L}{a_j}} - \sqrt{\frac{2(2L/3)}{a_j}} $$

El tiempo que Jairo necesita para finalizar la carrera está dado por:

$$ T_j = \sqrt{\frac{2L}{a_j}} = \frac{4}{(\sqrt{2} - \sqrt{4/3})} \sqrt{2} $$

Calculando el valor numérico:

$$ T_j = 12 + 4\sqrt{6} \approx 21.80 \text{ segundos} $$

Conclusión de la Carrera

El tiempo de Jairo para finalizar la carrera ($21.80 \text{ s}$) es menor que el de Pedro ($22.39 \text{ s}$). Por lo tanto, Jairo ganó la carrera por una diferencia de $22.39 - 21.80 = 0.59 \text{ segundos}$.

2. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

2.1. Demostración de la Inexistencia de Solución

Ecuación:

$$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 + 3 = 0 $$

Para demostrar que esta ecuación diferencial no tiene solución real, analizamos los términos del lado izquierdo:

• El término $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ (la derivada al cuadrado) siempre es un número no negativo ($\ge 0$).
• El término $y^2$ (la función al cuadrado) siempre es un número no negativo ($\ge 0$).

Por lo tanto, la suma de estos dos términos más la constante 3 siempre será mayor o igual que tres:

$$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 + 3 \ge 3 $$

Dado que el lado izquierdo siempre es mayor o igual que 3, nunca puede ser igual al lado derecho, que es 0. Por consiguiente, la ecuación diferencial no tiene solución real.

2.2. Determinación del Parámetro 'm' para una Solución Dada

Se busca determinar el valor del parámetro $m$ para el cual la función $\phi(x) = x^m$ es una solución de la ecuación diferencial dada.

Calculamos las derivadas de $\phi(x)$:

• $\phi'(x) = mx^{m-1}$
• $\phi''(x) = m(m - 1)x^{m-2}$

a) Ecuación Diferencial 1

Sustituyendo $\phi(x)$, $\phi'(x)$ y $\phi''(x)$ en la ecuación diferencial:

$$ 3x^2 [ m(m - 1)x^{m-2} ] + 11x [ mx^{m-1} ] - 3x^m = 0 $$

Simplificando los exponentes:

$$ 3m(m - 1)x^m + 11mx^m - 3x^m = 0 $$

Factorizando $x^m$:

$$ [3m(m - 1) + 11m - 3] x^m = 0 $$

Desarrollando el polinomio en $m$:

$$ [3m^2 + 8m - 3] x^m = 0 $$

Para que esta última ecuación se mantenga en un intervalo de $x$, el coeficiente debe ser cero:

$$ 3m^2 + 8m - 3 = 0 $$

Factorizando el trinomio:

$$ (3m - 1)(m + 3) = 0 $$

Esto implica que $(3m - 1) = 0$ o $(m + 3) = 0$. Los valores de $m$ son:

$$ m = \frac{1}{3} \quad \text{y} \quad m = -3 $$

b) Ecuación Diferencial 2

Sustituyendo en la segunda ecuación diferencial:

$$ x^2 [m(m - 1)x^{m-2}] - x[mx^{m-1}] - 5x^m = 0 $$

Simplificando y factorizando $x^m$:

$$ [m^2 - 2m - 5] x^m = 0 $$

Para que la ecuación se mantenga, el coeficiente debe ser cero:

$$ m^2 - 2m - 5 = 0 $$

Para resolver $m$, se utiliza la fórmula cuadrática:

$$ m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} $$