Resistència de Materials: Tensions, Flexió i Inèrcia
Física3,93 KB
Tensions en barres i alargament
Tensions en barres: σ = N/A. Alargament total: Al = (γl²)/(2E) = p/(2K). Alargament de la barra: Nl/(EA). εx = αΔT. ΔL = αΔT·l. N = αΔT·EA. σ = αΔT·E. Iy = 1/12 · b³ · h.
Flexió pura (M)
Flexió pura: σ(x) = -(Mz/Iz)·y. Ho calculem tot amb kN i cm. σt = positiu.
Mòdul resistent
Wz = Iz/ymax. Wy = Iy/zmax.
Mòdul resistent òptim
Wzop = (A·h)/2.
Rendiment geomètric
nz = Wz/Wzop. 100 MPa = 10 kN/cm².
Flexió pura esviada
My = M·sen α. Mz = M·cos α. σx = -(Mz/Iz)·y + (My/Iy)·z = M(-(cos α/Iz)·y + (sen α/Iy)·z).
Eix neutre: -(cos α/Iz)·y + (sen α/Iy)·z = 0. y = (Iz/Iy)·tan α · z. y = tan β · z.
Flexió simple (M + T)
Situació de l'eix neutre: h1/h2 = σcmax/σtmax.
Flexió composta (axil + flector)
σ = N/A - (Mz/Iz)·y + (My/Iy)·z. Per a l'eix neutre igualem a zero.
ey = -Mz/N. Mz = -N·ey. My = N·ez.
Radi d'inèrcia
ri² = Ii/A. σ = N/A·(1 + (ey/rz²)·y + (ez/ry²)·z). Igualem el que hi ha dins a zero.
y = 0 ⇒ z0 = -(ry²/ez). z = 0 ⇒ y0 = -(rz²/ey).
Pas de v i w a y i z
w'g = s·v'/A. v'g = s·w'/A. Calculem Iw, Iv i Ivw.
tan 2γ = 2·Ivw/(Iw - Iv).
Iy = Iv·cos² + Iw·sen² - Ivw·sen 2γ.
Iz = Iv·sen² + Iw·cos² + Ivw·sen 2γ.
Càlcul de v'g i w'g
Calculem el centre de gravetat de cada rectangle (primera coordenada, distància horitzontal) i l'àrea de cada un. Després, l'àrea total (suma).
v'g (segona coordenada): cada segona coordenada de les parts multiplicada per la seva àrea, sumades, i dividit per l'àrea total.
w'g (primera coordenada): cada primera coordenada multiplicada per la seva àrea, sumades, i dividit per l'àrea total.
Càlcul d'Iw, Iv i Ivw
Iw (utilitzem la segona coordenada v'g): de cada part, (1/12)·base·h³ + àrea parcial·(coord. principal - coord. de la part)². Se suma després cada part.
Iv (utilitzem la primera coordenada w'g): de cada part, (1/12)·base³·h + àrea de cada part·(coord. principal - coord. de la part)². Se suma després cada part.
Ivw: de cada part, 0 + àrea de la part·(segona coordenada principal - segona coordenada de la part)·(primera coordenada principal - primera coordenada de la part). Sumem totes les parts.
Per canviar de w, v a z, y: cos, -sen, sen, cos.
Factors de conversió
100 MPa = 10 kN/cm². 1 kN/cm² = 10 N/mm². 75 MPa = 75 × 10⁶ N/m² = 75 × 10³ kN/m².
Trucs per resoldre exercicis
L'angle es comença a comptar des de l'horitzontal cap a l'esquerra. La compressió va cap a la figura.
Alçat (x dreta, y adalt): el moment s'anota sempre en cm; tallant a l'eix y però desplaçat (horari baix); tallant de planta com un punt; moment de planta a l'eix y / si hi ha axil a l'eix x.
Planta (x dreta, z avall): al dibuix, però posem y cap amunt i z cap a l'esquerra: moment a l'eix y, tallant a l'eix z (horari esquerra), moment d'alçat a l'eix z, tallant d'alçat a l'eix y (horari baix) / si n'hi ha axil, com a creu al centre.
Sempre posem y cap amunt i z cap a l'esquerra.
Quan hi ha axil, l'eix neutre es busca calculant els punts de tall. Amb ey i ez es busquen les zones de tracció i compressió. Quan hi ha moment i tallant, es calcula amb l'angle.
Quan convertim d'eixos v i w a y i z, l'angle des de v, si és negatiu, va cap a la dreta.
Hipòtesi de Bernoulli-Navier
Dues seccions rectes infinitament pròximes experimenten alabeig en la deformació, però qualsevol d'elles pot superposar-se a l'altra mitjançant una translació i un gir.