Rendes Financeres: Concepte, Valoració i Classificació

Anàlisi de les Rendes Financeres

1. Introducció

En aquest capítol, dedicat a les rendes, farem diverses classificacions i valorarem només les rendes constants per ser les que amb més freqüència es presenten a la pràctica. Elegirem un punt on valorar tots els capitals que constitueixen la renda. Si aquest punt és l'origen, el valor obtingut s'anomena valor actual de la renda; mentre que si és el final de l'operació el punt elegit per a la valoració, es diu valor final de la renda.

Per a la valoració dels capitals de la renda s'utilitzen les lleis compostes, de capitalització i de descompte, atès que el temps serà superior a l'any.

2. Concepte de Renda

Una renda és un conjunt de capitals financers que vencen amb la mateixa periodicitat. Aquest concepte implica l'existència d'un conjunt de capitals financers {(C1, 1) (C2, 1)… (Ck-1, k-1)… (Cn, n)} i l'existència d'un interval de temps I = (0, n) dividit en períodes de temps iguals, {(0, 1) (1, 2)… (k-1, k)… (n´1, n)}, els quals estan associats als venciments d'aquests capitals financers. D'aquesta manera, cada un dels capitals financers té el seu propi venciment.

Cada un dels capitals rep el nom de terme de la renda.

El període és l'interval de temps que separa dos termes successius que, entre altres, pot ser el mes, el trimestre, el semestre i l'any, rebent el capital el nom de mensualitat, trimestralitat, semestralitat i anualitat, respectivament.

L'objectiu dels termes pot ser reemborsar, reintegrar o retornar un préstec o un deute, o bé, formar un capital. En el primer cas es parla de termes d'amortització i en el segon cas de termes de capitalització.

Per tant, en qualsevol renda financera es poden identificar els següents elements:

• Terme de la renda: representa l'import del capital financer, que es paga o es cobra en cada moment, Ck (k=1, 2, …, n).
• Període: cada un dels subintervals de temps en el qual es realitzen els cobraments o pagaments, (0, 1) (1, 2)… (k-1, k)… (n´1, n).
• Origen de la renda (0): l'extrem inferior del primer subinterval. Inici del primer període de la renda.
• Fi de la renda (n): l'extrem superior de l'últim interval n. Final de l'últim període de la renda. En ocasions es desconeix o no està definit el final d'una renda.
• Durada: el període total de vigència de la renda i que coincideix amb el temps comprès entre l'origen i el final de la renda.

3. Valoració de Rendes

Una vegada definits els elements que constitueixen una renda financera, i elegida una llei financera de valoració, serem capaços de valorar aquesta renda en una data determinada; si és a l'origen parlarem de valor actual i si és al final de la renda parlarem de valor final.

El valor actual d'una renda (V0) és la suma del valor de tots els seus capitals referits al moment inicial de la renda (0). El seu càlcul requereix la utilització d'una llei financera composta. En concret, la llei de descompte compost racional, C0 =Cn (1+i)-n, per tant, per descomptar o actualitzar un capital n períodes de temps, serà necessari multiplicar la quantia del capital per (1+i)-n.

Si els cobraments, o els pagaments, es produeixen al final de cada període el valor actual de la renda serà:

El valor final d'una renda (Vn) és la suma del valor de tots els seus capitals referits al moment final de la durada de la renda n. El seu càlcul requereix una llei de capitalització composta, per tant es multiplicarà la quantia del capital per (1+i)n.

Si els cobraments, o els pagaments, es produeixen al final de cada període el valor final de la renda serà:

Una altra forma de calcular el valor final d'una renda és a partir del valor actual de la mateixa, que serà la que utilitzarem. D'aquesta manera, s'obté en primer lloc el valor actual d'una determinada renda en 0, V0, i després caldrà capitalitzar-lo fins al moment final de la renda en n, al tipus d'interès, i.

Vn = V0 (1 + i)ⁿ

Vegem un exemple, suposem que tenim una renda de 3 anys de durada, els termes de la qual són de 1000, 2000 i 3000 euros pagadors al final de cada any. Per a la valoració utilitzarem el 5% d'interès anual.

El valor actual serà:

V₀ = 1000(1+0,05)^-1 + 2000(1+0,05)^-2 + 3000(1+0,05)^-3 = 5357,95

El valor final serà:

V₃ = 1000(1+0,05)² + 2000(1+0,05)¹ + 3000 = 6202,5

El valor final el calcularem generalment capitalitzant el valor actual:

V₃ = 5357,95(1+0,05)³ = 6202,5

4. Classificació de les Rendes

Les rendes les podem classificar atenent a criteris diversos.

1. Segons la quantia dels termes de la renda:
   • Rendes constants. Quan tots els imports dels termes de la renda són iguals entre si.
   • Rendes variables. Quan els imports dels termes de la renda són diferents. Les més habituals són les variables en progressió aritmètica i les variables en progressió geomètrica.
2. Segons la disponibilitat o venciment dels termes:
   • Rendes pospagables. Són aquelles rendes en les quals els pagaments o cobraments són al final de cada període. L'origen de la renda (0) és anterior al venciment del primer terme, mentre que el final d'aquesta renda coincideix amb el venciment del seu últim terme. L'exemple més comú és l'amortització d'un préstec. L'origen de la renda és el moment en què es rep la quantitat prestada i es comença a retornar amb pagaments que es produeixen al final de cada període.
   • Rendes prepagables. Són aquelles rendes en les quals els pagaments o cobraments són al principi de cada període. El venciment del primer terme de la renda coincideix amb l'origen (0) de la renda i el venciment de l'últim terme és anterior al final de la renda (n).
3. Segons la durada de la renda:
   • Rendes temporals. Són aquelles rendes que consten d'un nombre finit, n, de termes.
   • Rendes perpètues. Aquestes rendes presenten un nombre infinit de termes i la seva durada no tindria fi, per tant, no existeix últim terme. Pràcticament totes les rendes són temporals, però a efectes teòrics podem considerar com a perpètua la renda de la terra, una finca genera uns ingressos perpetus, encara que els qui els percebin vagin canviant.
4. Segons el moment de la seva valoració:
   • Rendes immediates. Quan la valoració es realitza en qualsevol moment comprès dins de l'interval (0,n), és a dir, entre l'origen de la renda (0) i el final de la renda(n).
   • Rendes diferides. Quan el moment de la valoració és anterior a l'origen de la renda (0).
   • Rendes anticipades. Quan el punt de la valoració està situat després del final de la renda (n).
5. Segons la periodicitat del venciment:
   • Rendes anuals. Quan els venciments dels termes de la renda són cada any. Els termes reben el nom d'anualitats.
   • Rendes fraccionades. Els venciments dels capitals financers d'aquestes rendes presenten una periodicitat inferior a l'any. Com per exemple, quadrimestral. En aquest cas es parlaria de renda fraccionada quadrimestral i el temps que transcorre entre un venciment i un altre són quatre mesos, de manera que en cada any es produirien tres venciments successius. Altres possibles exemples de periodicitat inferior a l'any són: mensual, trimestral, semestral, etc.
   • Rendes amb periodicitat superior a l'any. Si la periodicitat dels venciments dels successius capitals financers són majors a l'any. Per exemple una renda quinquennal, on el període que transcorre entre dos venciments consecutius és de 5 anys.

Podem recollir en un quadre el resum de la classificació de les rendes:

A partir d'aquest punt, estudiarem les rendes constants.

5. Valoració de les Rendes Anuals Constants

Una renda constant anual és aquella renda els termes de la qual són iguals entre si i de venciment anual. Analitzarem en primer lloc les temporals i després les perpètues.

A. Rendes Anuals Constants i Temporals

Són aquelles rendes anuals constants que consten d'un nombre finit, n, de termes.

A.1. Temporals Immediates

Les rendes es valoren dins de l'interval (0,n).

A.1.1. Pospagable

Els termes de la renda vencen al final de cada any.

Aquesta renda és la més senzilla de les que analitzarem. És especialment important perquè els desenvolupaments matemàtics de la resta de les rendes constants només són petites variacions d'aquesta.

En el cas d'un conjunt de pagaments anuals d'1 euro, on el primer pagament ocorre al final del primer any, la renda s'anomena renda unitària constant pospagable i el seu valor actual es representa pel símbol a_n|i, on n és la durada de la renda i i el tipus d'interès.

Els n termes de la renda són {(1,1) (1,2)…(1,n)}, que es representen gràficament.

Càlcul del Valor Actual

El càlcul del valor actual d'aquesta renda suposa valorar tots els capitals que la componen a l'origen de la renda. El procediment consisteix en el descompte o actualització dels seus termes utilitzant la llei de descompte compost racional a un tipus d'interès i constant.

Aplicant aquesta fórmula en el sumatori del valor actual, obtenim:

Càlcul del Valor Final

El càlcul del valor final d'aquesta renda suposa valorar tots els capitals que la componen al final de la renda. El valor final de la renda unitària es representa pel símbol s_n|i, i s'obté capitalitzant el valor actual, és a dir, multiplicant el valor inicial o actual calculat anteriorment pel factor (1+i)ⁿ.

A.1.2. Prepagable

El venciment del primer terme de la renda coincideix amb l'origen (0) de la renda i el venciment de l'últim terme és anterior al final de la renda (n).

Sigui una renda unitària prepagable de n termes {(1,0)(1,1)…(1,n-1)} que es representa mitjançant el següent esquema:

Aquestes rendes estan constituïdes per pagaments anuals, que s'efectuen al principi de cada període, és a dir, el primer pagament és al principi del primer any, el segon pagament al principi del segon any i així successivament fins a l'últim pagament que és al principi de l'últim any.

Càlcul del Valor Actual

El raonament per al càlcul del valor actual d'una renda prepagable és anàleg al dut a terme per a una renda pospagable.

Es tracta de valorar tots els capitals financers a l'origen de la renda. Quan la renda és prepagable, el seu origen queda definit pel venciment del primer capital.

Com abans vam fer, es dedueix la fórmula per al valor actual de la renda unitària, en aquest cas, prepagable i es representa per ä_n|i. Aquest símbol és semblant a l'usat per al cas de la renda pospagable però amb una dièresi, la qual diferencia els valors actuals de les rendes unitàries prepagables de les pospagables.

Així doncs:

ä_n|i = a_n|i (1 + i)

Observem que, el valor actual de la renda unitària prepagable és igual al valor actual d'una renda pospagable multiplicat per (1+i).

Per a una renda de C euros en comptes d'1 euro el valor actual es representa amb la nomenclatura V₀^&&, és com el de les pospagables, però amb una dièresi i seria:

V₀^&& = C * ä_n|i

Càlcul del Valor Final

El valor final de la renda unitària es representa pel símbol s_n|i^&&, i, com hem indicat ja, s'obté multiplicant el valor inicial o actual calculat per (1+i)ⁿ.

És a dir, el valor final d'una renda unitària prepagable és igual al valor final d'una renda pospagable multiplicat per (1+i).

Per a una renda de C euros en comptes d'1 euro el valor final es representa amb la nomenclatura V_n^&&, és com el de les pospagables, però amb una dièresi i seria:

V_n^&& = C * s_n|i^&&

Reducció a rendes pospagables

Aquesta propietat de les rendes prepagables simplificarà molt l'estudi de les rendes. El valor actual de les rendes constants prepagables, de qualsevol tipus que aquesta sigui, és igual al valor actual de la renda pospagable d'igual característica multiplicat per un (1+i).

Considerarem per tant (1+i) com el factor de correcció de les rendes prepagables.

A.2. Rendes Temporals Diferides

Es diu que una renda és diferida en el cas que la seva valoració es produeixi uns períodes abans del seu començament o origen i es representen pels símbols _dV₀.

La valoració d'una renda diferida es fa actualitzant el seu valor a l'origen (valor actual d'una renda immediata) fins al moment elegit.

_dV₀ = V₀ (1+i)^-d

És interessant assenyalar que quan una renda és diferida haurem d'elegir si tractar-la com a prepagable o com a pospagable i després ser conseqüents amb l'elecció.

Suposem, com a exemple, que valorarem avui una renda el primer pagament de la qual es farà d'aquí a 4 anys. Si nosaltres decidim que la renda és prepagable això vol dir que el seu origen està a l'any 4, perquè en les rendes prepagables el primer pagament coincideix amb l'origen de la renda. Llavors serà una renda diferida 4 anys.

Si, per contra, decidim que la renda és pospagable, el primer pagament és al final del primer any per la qual cosa l'origen de la renda, estarà a l'any 3 i la renda serà diferida 3 anys.

A.3. Rendes Temporals Anticipades

Es diu que una renda és anticipada quan la valoració es produeix diversos períodes després d'acabar els pagaments i es representen pels símbols _dV_n.

La valoració d'una renda anticipada es fa capitalitzant el seu valor al final (valor final de la renda immediata) fins al moment de la valoració.

_dV_n = V_n (1+i)^d

B. Rendes Anuals Constants i Perpètues

Entenem per rendes perpètues aquelles els pagaments de les quals no tenen un final.

B.1. Perpètues Immediates

Les rendes es valoren a l'origen.

B.1.1. Pospagable

Calcularem només el valor actual de la sèrie corresponent a aquestes anualitats, ja que el valor final lògicament no existeix. Com hem dit anteriorment, podem considerar que la renda de la terra sí que podria ser perpètua.

De totes maneres hi ha una altra utilitat de les rendes perpètues, entre el valor actual d'una renda temporal de termini llarg i el valor actual d'una renda perpètua no hi ha massa diferència (com l'alumne curiós pot comprovar posant-se un exemple amb una renda de, posem, 50 anys de durada), i les rendes perpètues són més fàcils de calcular que les rendes temporals, per la qual cosa a vegades podem utilitzar-les per aproximar el valor de les altres.

Càlcul del Valor Actual

Un conjunt d'infinits pagaments anuals de C euros, on el primer pagament ocorre al final del primer període, s'anomena renda perpètua immediata pospagable.

El seu valor actual es determina trobant el límit quan n tendeix a infinit del valor actual de la corresponent renda temporal pospagable:

V₀ = C / i

B.1.2. Prepagable

A partir d'aquest valor de la renda perpètua constant pospagable s'assoleixen, sense més que multiplicar pel factor de correcció, la fórmula per a la renda perpètua prepagable:

El valor actual de la renda perpètua prepagable és:

V₀ = C * (1+i) / i

Perpètues Diferides

Són rendes perpètues la valoració de les quals es produeixi uns períodes abans del seu començament o origen.

La valoració d'aquesta renda es fa actualitzant el seu valor a l'origen (valor actual d'una renda perpètua immediata) fins al moment elegit.

6. Valoració de les Rendes Constants de Periodicitat No Anual

Són rendes en què els pagaments es produeixen amb una periodicitat diferent de l'anual. Aquesta periodicitat pot ser inferior a l'any, mesos, trimestres, etc, o superior a l'any, triennis, quinquennis, etc.

En les fórmules que hem estudiat per a les rendes anuals sempre hem suposat que els pagaments eren anuals, així com el tipus d'interès. Doncs bé, en aquestes rendes de periodicitat no anual podrem aplicar les mateixes fórmules, però hem de tenir en compte que el pagament, la durada o nombre de pagaments i el tipus d'interès han de ser els del període de la renda no de l'any.

6.1. Rendes de periodicitat inferior a l'any

El primer pagament és el pagament del primer període, la durada de la renda és el nombre de períodes, no d'anys, i el tipus d'interès ha de ser el del període, i_k.

6.2. Rendes de periodicitat superior a l'any

El primer pagament és el pagament del primer període, la durada de la renda és el nombre de períodes, no d'anys, i el tipus d'interès ha de ser el del període. El tipus d'interès el calculem a partir de l'interès anual:

i_p = (1 + i)^p - 1

sent p el nombre d'anys que formen el període.

Com observem només necessitem les fórmules de les rendes pospagables. Les rendes prepagables s'obtenen multiplicant les pospagables per (1+i).