Relaciones entre Series de Tiempo: Estacionariedad, Cointegración y Modelos de Corrección de Error

1. Problemas de Regresión con Series de Tiempo No Estacionarias

Supón que dos series de tiempo, Y_t y X_t, se comportan de la siguiente manera:

Y_t = βY_t-1 + e_t

X_t = αX_t-1 + u_t

Con α = β = 1

¿Cuáles serían los problemas de estimar una regresión con Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) entre estas dos variables?

Si α = β = 1, la observación de hoy es explicada completamente por la de ayer y, por lo tanto, las series son no estacionarias. Esto tendría como consecuencia estimar una regresión espuria con la que los estadísticos no son confiables. Si el estadístico t no es confiable, los coeficientes también son dudosos.

2. El Concepto de Cointegración

¿A qué se refiere el concepto de cointegración?

La cointegración tiene como fin conocer si las series tienen una tendencia común. Cuando las series tienen una tendencia común se dice que cointegran.

3. Combinación Lineal y Vector de Cointegración

Considere la siguiente regresión:

Y_t = βX_t + γZ_t + U_t

¿Cómo escribirías una combinación lineal de Y_t, X_t y Z_t?

U_t = Y_t - βX_t - γZ_t

¿Cuál sería el vector de cointegración?

(1, -β, -γ)

4. Metodología de Cointegración de Engle y Granger

Considera la siguiente regresión:

Y_t = βX_t + γZ_t + U_t

¿Qué pasos seguirías para estimar la metodología de cointegración de Engle y Granger?

1. Realizar pruebas de raíz unitaria sobre las variables (X, Y). Si alguna es no estacionaria, se prosigue con el método de Engle y Granger.
2. Correr la regresión: Y_t = βX_t + γZ_t + U_t
3. Obtener los residuos: û_t
4. Hacer pruebas de raíz unitaria sobre los residuos (û_t).

Si û_t es estacionario, las series cointegran.

Si û_t es no estacionario, las series no cointegran.

¿Qué pruebas llevarías a cabo para determinar qué tan robusta es la estimación?

1. Prueba de correlación serial, en donde: H₀: Es homocedástica, valor p > 0.05
2. Prueba de heterocedasticidad, donde: H₀: No hay correlación serial, valor p > 0.05 (se acepta H₀)
3. Prueba de estabilidad.

5. Pruebas de Raíz Unitaria: ADF y KPSS

Las pruebas de raíz unitaria consideran una ecuación como la que sigue:

Y_t = γY_t-1 + e_t

¿Cuál es la hipótesis nula sobre el parámetro γ de la prueba ADF (Augmented Dickey-Fuller)?

γ = 1, por lo tanto, H₀: Tiene raíz unitaria (es no estacionaria).

¿Cuál es la hipótesis nula de la prueba KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)?

La hipótesis nula de la prueba KPSS es que la serie es estacionaria.

6. Modelo de Corrección de Error y Elasticidades de Largo Plazo

Supón que deseas estimar un Modelo de Corrección de Error entre las variables Y_t, X_t y Z_t. Escribe un ejemplo de la ecuación que estimarías teniendo a ΔY_t como variable dependiente.

ΔY_t = μ + ωY_t-1 + β₁X_t-1 + β₂Z_t-1 + δ₁ΔY_t-1 + δ₂ΔY_t-2 + ... + δ_nΔY_t-n + λ₀ΔX_t + λ₁ΔX_t-1 + λ₂ΔX_t-2 + ... + λ_nΔX_t-n + θ₀ΔZ_t + θ₁ΔZ_t-1 + θ₂ΔZ_t-2 + ... + θ_nΔZ_t-n

Tomando en cuenta la expresión que escribiste, ¿Cómo calcularías las elasticidades de largo plazo?

Elasticidad de Y respecto a X: -β₁ / ω

Elasticidad de Y respecto a Z: -β₂ / ω