Relaciones y Funciones: Conceptos Clave en Matemáticas

Relaciones y Funciones en Matemáticas

Dado los conjuntos de A y B, se llama relación de A en B, simbolizada por medio de R: A à B, a todo subconjunto del producto cartesiano A x B.

Una función de A en B es una relación que asocia todo elemento del conjunto A con un solo elemento del conjunto B y se representa del modo siguiente: f: A à B. Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

El dominio es el conjunto de los valores que puede tomar la variable x.

El rango es el conjunto de valores que puede tomar la variable y.

El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), donde a € A y b € B.

La variable independiente es aquella de la que depende la variable dependiente. Es la que puede adoptar cualquier valor del dominio de la relación.

Cuando en dos variables están relacionadas entre sí, el valor de una de ellas depende del valor de otra. La variable cuyo universo de definición es el rango de la relación es la variable dependiente.

Si f es una función de A en B, es inyectiva si a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, y a cada elemento de B le corresponde un solo elemento de A. También se llama función uno a uno.

Si todo elemento del codominio de una función f forma parte del rango al menos de un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.

Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama función biyectiva. Es decir, la función f: A à B es biyectiva si todo elemento de B es imagen de un solo elemento de A.

Se llama función constante a aquella función matemática que tiene un valor fijo.

Sea f: R à R, donde f(x) = x, esto es y = x. El rango y el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales R. Es suprayectiva e inyectiva, por lo tanto, también biyectiva. Esta es conocida como función identidad o idéntica.

Si n=1, la función polinómica es de primer grado y se llama función lineal.

Si n=2, la función polinómica es de segundo grado y recibe el nombre de función cuadrática.

Es la que se expresa de esta forma: donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) es diferente de cero. Esta es conocida como función racional.

Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical.

Todas aquellas funciones de la forma f(x) = b^x, en donde la base b es una constante y el exponente es la variable independiente, se conocen como función exponencial.

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x, donde la base a es un número real y positivo, pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Ejercicios Prácticos

Determina el dominio del siguiente conjunto = {(34, 65), (42, 69), (49, 70), (52, 75)}

El dominio es: 34, 42, 49, 52. El valor que pertenece a x (el primero).

Determina el rango del siguiente producto cartesiano = {(10, 23), (15, 24), (19, 26), (20, 29), (24, 30)}

El rango es: 23, 24, 26, 29, 30. El valor que pertenece a y (el segundo).