Relación proporcional y no proporcional en la educación matemática: material, niveles de representación y sistema de numeración
Relación de proporcionalidad y material
Material proporcional: existe relación directa de proporcionalidad entre el número de unidades y los elementos del material (bloques multibase, regletas, material de Montessori, palillos).
Material no proporcional: no hay proporcionalidad directa entre el número de unidades y los elementos del material (ábacos, chapas, monedas, calculadora).
Niveles de representación matemática
- Nivel 1: concreto. Aparecen todas las unidades que componen el número. Ejemplo: xxx = 4.
- Nivel 2: semiconcreto. Hay un convenio donde un grupo de unidades viene representado por otro símbolo. Ejemplo: en el ábaco, 14 = *, ++++.
- Nivel 3: simbólico o convencional. Hay un convenio donde se determinan dos símbolos que representan los números. Ejemplo: 14 es la representación de catorce.
Los materiales y recursos son convenientes para pasar de unos niveles a otros en la expresión de conceptos numéricos.
División: cómo repartir y cómo medir
División cuotitiva (medida). Dividendo: lo que se va a repartir, que corresponde a una cardinalidad concreta. Divisor: el número de partes conocido. Cálculo: multiplicando. Ejemplo: tengo 12 bolas para repartir entre 3 niños. ¿Cuántas canicas corresponden a cada niño? 12 canicas / 3 niños = 4 canicas por niño. Con 100 timbres: tamaño de la parte (cuotitiva).
División partitiva (reparto). Dividendo: lo que se reparte. Divisor: el número de partes en que se reparte. Ejemplo: tengo 12 canicas, doy 3 a cada niño. ¿Cuántos niños? Niños x 3 canicas = 12 canicas, o 12 / 3 = 4 niños.
Modelos de adición y sustracción
Modelo lineal: cuando la base de los números es la recta numérica, la representación tiene carácter ordinal. Cardinal para contar.
Modelo de conjuntos: se utiliza el diagrama de conjuntos, así como las medidas de representación.
Modelo de magnitud: se utiliza la operación como una magnitud, en la que las operaciones son relaciones entre magnitudes funcionales. La operación se utiliza como una máquina que transforma unos números en otros: estado inicial, operador, estado final.
Algoritmos
Los algoritmos son métodos que nos permiten, mediante un número finito de pasos y con unas reglas regulares, concluir cualquier ejercicio numérico.
Adición usual (llevadas)
- Colocación en columnas.
- Empezar por la derecha.
- Sumar número a número.
- Agrupamiento de unidades.
Diagonal: se suele utilizar cuando los niños tienen problemas con las llevadas.
- Colocar columnas.
- Empezar por la derecha o la izquierda.
- Sumar número a número, poniendo cada uno en su columna.
- Volvemos a sumar sin llevadas.
Ordenado o indudable:
- Colocar columnas.
- Empezar por la izquierda.
- Sumar número a número.
- Tachamos y sumamos donde hay más de un número.
Sustracción (con llevadas)
Se colocan en columnas, empezando por la derecha, sumando número a número. En el bloque donde añadimos 10 decenas al minuendo y sumamos 1 unidad a la siguiente (cuando nos llevamos 1 al minuendo), se pide prestado 1 al vecino de arriba, y pasamos 10 decenas.
Descomposición no canónica del minuendo. Pidiendo 1 al vecino de arriba.
Algoritmo de Lagrange (complementario). Se completa el sustraendo con las unidades necesarias hasta llegar a 10, las cuales también se sumarán arriba. Se suma 1 al siguiente sustraendo por cada decena completada en 10. Finalmente se elimina el sustraendo y el resultado es la suma del minuendo, y se resta el minuendo.
Ordenación de problemas por niveles de dificultad
Primero los de categoría regla de asociación, clase multiplicación, división partitiva, división cuotitiva. Luego los de comparación multiplicativa, clase multiplicación y clase división partitiva. Después los de categoría multiplicativa, clase división cuotitiva. Por último los de multiplicación cartesiana.
Los criterios seguidos para esta propuesta son: E. Castro, 3ª de regla de asociación, 2º comparación multiplicativa, 1º multiplicación cartesiana, los que presentan mayor dificultad. Lo anterior hay que matizarlo, porque dentro de la misma categoría semántica la dificultad de elegir la operación cambia según la cantidad desconocida en el problema. Por ejemplo, en los problemas de comparación multiplicativa hay diferencias importantes de dificultad entre los problemas de comparado desconocido y los problemas de factor desconocido o de referente desconocido: los problemas de comparado desconocido tienen un índice de dificultad menor que los otros dos.
Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración asigna a un nombre una representación posicional escrita de cada número, mediante la combinación de una serie reducida de símbolos, siguiendo reglas regulares. El agrupamiento da lugar a un sistema de numeración posicional donde cada grupo de elementos o símbolos se constituye en un nuevo símbolo, así las expresiones numéricas son más cómodas.
- Multiplicadores: son símbolos que indican las veces que un número se repite en una potencia determinada de la base.
- Valor posicional: según el lugar que ocupe el símbolo tendrá un valor u otro.
- Existencia del 0: el 0 se utiliza como indicador de un lugar vacío en nuestro sistema de numeración posicional. Ejemplo: 2106. El 0 se usa para que las posiciones de 2 y 1 sean correctas; sin él sería 216 y estaría mal.
Elementos clave: 1. Agrupamiento simple (1, 2); agrupamiento múltiple (1, 2, 3); agrupamiento multiplicativo (1, 3, 4); posición (1, 4, 5, 6). 2. Aditivo. 3. Símbolo de potencia de base. 4. Multiplicador. 5. Valor posicional. 6. Existencia del 0.