Reglas de Elección Social: Condiciones y Propiedades Esenciales

Una regla de elección social es una aplicación C del conjunto de los perfiles de preferencias al conjunto de las funciones de elección que asigna a cada perfil de preferencias una función de elección Cu. Dominio u: Cu (Cu) dif conj vaciko. Para todo perfil u y todo conjunto no vacío de alternativas A, la regla de la mayoría simple para más de dos alternativas no cumple la propiedad de dominio universal.

Condición Fuerte de Pareto

Para cualquier perfil de preferencias débiles u = (>=1,....,>=n) con preferencias asociadas (>1,..., si x, y ∈ X cumplen x >= i y i=1,....n, y x < j para algún j ∈ {1, ...., n}, entonces y no ∈ Cu(A) para cualquier conjunto de alternativas A con x ∈ A.

Condiciones de Pareto

• Condición Débil de Pareto: Para cualquier perfil de preferencias U = (>1,..., >n), si x, y ∈ X cumplen x >= y, i= 1,..., n, entonces y ∈ Cu(A) para cualquier conjunto de alternativas A con X ∈ A.
• No Existencia de Dictador: El agente a es dictador si para todo perfil de preferencias u = (>1,..., >n), si x > y, entonces para cada conjunto de alternativas A con x ∈ A, y ∉ Cu(A). No se permiten dictadores en la sombra ni dictadores aleatorios.

Representabilidad Transitiva

Una regla de elección social es transitivamente representable si existe una preferencia débil Es (la preferencia social) tal que para cualquier conjunto de alternativas A:

C(A) = {x ∈ A : x >= sy, ∀y ∈ A} las elecciones sociales se pueden deducir por medio de los modelos de elección individual. En particular, exige que en cada agenda haya un ganador de Condorcet. La regla de la mayoría simple no es transitivamente representable.

Regla de la Mayoría Simple

Los agentes seleccionan aquella alternativa que prefieren y se elige la que es seleccionada por la mayoría, seleccionando ambas alternativas en caso de empate.

Formalización para Dos Alternativas

Dado un perfil u = (>1,..., *n), la regla de la mayoría simple para dos alternativas x, y asigna:

• Cu ({x}) = {x}
• Cu ({y}) = {y}
• Cu ({x, y}) = {x} si la suma de las coordenadas de u es positiva
• Cu ({x, y}) = {y} si la suma de las coordenadas de u es negativa
• Cu ({x, y}) = {x, y} si la suma de las coordenadas de u es cero

Se elige la primera opción si es preferida a la segunda por más agentes (los indiferentes no se cuentan ni en un sentido ni en otro), y la segunda en caso contrario, siendo ambas alternativas aceptables en caso de empate.

Pareto Óptimo

Definición: x = (x1,..., Xn) ∈ X es Pareto óptimo si no existe x ∈ X tal que pi_i(x') > pi_i(x) para ∀i = 1,..., n y pi_j(x') > pi_j(x) para algún j.

Equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash (EN) es una estrategia conjunta x = (x1,..., Xn) ∈ X que cumple:

Mi(x) → Mi(x1,..., Xi-1, Xi, Xi+1,..., Xn) para ∀i ∈ I, ∀Xi ∈ Xi.

Una estrategia conjunta es EN si ningún jugador tiene incentivos para desviarse unilateralmente.