Razones trigonométricas y teorema de los senos

Tangente:

Segmento comprendido en el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente de la circunferencia goniométrica (1, 0) -> AT = tg Radián:
El ángulo cuyo arco comprendido mide igual que el radio.
Razones trigonométricas (seno, coseno y tangente)

De un ángulo agudo (0º a 90º)

,  α,  definidas a partir de un triángulo rectángulo,  ABC,  son:

Entre ellas se dan las siguientes relaciones fundamentales: III. 1 + tg2x = 1 / cos2x
Demostración de las relaciones fundamentales:

Por Pitágoras en ABC: b2 + c2 = a2 Dividiendo ambos miembros por a2: b2/a2 + c2/a2 = 1 Por propiedades de las potencias: (b/a)2 + (c/a)2 = 1 Por definición de seno y coseno: cos2x + sen2x = 1 Por definición de seno y coseno, en ABC 

III. A partir de la relación fundamental: cos2x + sen2x = 1 Dividiendo los dos miembros: cos2x/cos2x = 1/cos2x ...1 + tg2x = 1/cos2x Para definir las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90° o razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (0º a 360º)
, utilizaremos la circunferencia goniométrica, que es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas.  Los ángulos se sitúan sobre ella de esta forma: -Su vértice, en el centro. -Uno de los lados, coincide con el semieje positivo de las  X. -El otro lado, donde corresponda, abríéndose el ángulo en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. -La circunferencia queda dividida en cuatro cuadrantes: -1.Er cuadrante:  0° < α < 90° -2.º cuadrante:  90° < α < 180° -3.Er cuadrante:  180° < α < 270° -4.º cuadrante:  270° < α < 360° Seno y coseno de un ángulo entre 0° y 360° :φ  es un ángulo cualquiera, de 0° a 360°. 

Al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, su segundo lado la corta en un punto  P.  A sus coordenadas las identificamos con  cos φ  y  sen φ:  P   (cos φ, sen φ). Se cumple la relación I:  sen 2 φ + cos 2 φ = 1 seno: arriba + abajo - coseno: derecha + izquierda -

Tangente de un ángulo entre 0° y 360°  Situamos el ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Trazamos la recta  t  tangente a la circunferencia en  U.  La segunda prolongación del ángulo, corta a la recta  t  en el punto  T.  La tangente del ángulo es igual a la longitud del segmento  UT,  con el signo correspondiente (+  por encima del eje  X,  –  por debajo). Se cumple la relación II: tgx = senx/cosx Los ángulos de 90° y 270° no tienen tangente. 

Ángulos fuera del intervalo 0º a 360º

Ángulos 360° o mayores  En el intervalo [0°, 360°) se encuentran todos los ángulos, sean cuales sean sus amplitudes.  α = α + 360° · n,  donde  n  es un número entero (positivo o negativo). Ángulos negativos  El ángulo de 300° puede expresarse así:  300° = 300° – 360° = – 60° Los ángulos que quedan situados debajo del eje  X,  es decir, los comprendidos entre 180° y 360°, se designan con una medida negativa. En tal caso, las medidas de los ángulos se dan en el intervalo (–180°, 180°]. Si  0° < α < 180°,  entonces a  360° – α  se le llama,  – α. Se dice que  α  y  – α  son opuestos.

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera de lados  a,  b,  c,  y de ángulos  A, B, C,  se cumplen las siguientes igualdades: