Razonamiento Matemático: Enfoque Empírico-Inductivo y Materiales Manipulativos

Razonamiento Matemático: Enfoque Empírico-Inductivo

La importancia del razonamiento empírico-inductivo, en muchos casos, desempeña un papel mucho más activo en la elaboración de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de casos particulares y la posibilidad de modificar las condiciones iniciales para ver qué sucede, son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Esta faceta intuitiva es la que convence al matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior.

Esta constatación se opone a la tendencia, en algunas propuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano, tendencia que priva a los alumnos del poderoso instrumento de exploración y construcción del conocimiento matemático.

Formalización y Abstracción

La construcción del conocimiento matemático es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas activadas por la realización de tareas y la resolución de problemas particulares. La experiencia y comprensión de las nociones, propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad real es, al mismo tiempo, un paso previo a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalización.

Contenidos Matemáticos: Conceptos, Procedimientos y Actitudes

En los bloques del Diseño Curricular se consideran tres apartados distintos para los tres tipos de contenido. El primero presenta los conceptos, hechos y principios. Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas escolares. Por principios se entiende enunciados que describen cambios que se producen en otro objeto o situación. El segundo apartado se refiere a los procedimientos, que son un conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta. En los contenidos de procedimientos se indican contenidos que también caben bajo la denominación de destrezas, técnicas o estrategias, ya que todos estos términos aluden a las características señaladas como definitorias de un procedimiento. Sin embargo, pueden diferenciarse, en algunos casos, contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas más generales que exigen, para su aprendizaje, otras técnicas más específicas, relacionadas con contenidos concretos.

Hay personas que consideran que puede ser peligroso estipular unos valores, normas y actitudes para todos los alumnos; con esto se pretende que los profesores trabajen estos contenidos tanto como los demás. Se considera, en esta propuesta, una ventaja: ese aprendizaje no se producirá de manera no planificada, formando parte del currículo oculto, sino que la escuela intervendrá intencionalmente, favoreciendo las situaciones de enseñanza que aseguran el desarrollo de los valores, normas y actitudes que, a partir de las cuatro fuentes del currículo, pero especialmente de la fuente sociológica, se consideren oportunas.

La diferencia entre contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales es la llamada de atención sobre la conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los contenidos seleccionados. Estos tres tipos de contenidos son igualmente importantes, ya que todos ellos colaboran en igual medida a la adquisición de las capacidades señaladas en los objetivos generales del área. Estos contenidos deben trabajarse juntos; no tiene sentido programar actividades de aprendizaje ni de evaluación distintas para cada uno de ellos, ya que será el trabajo conjunto lo que permitirá desarrollar las capacidades de los objetivos generales.

Un Modelo de Análisis de la Actividad Matemática

La descripción de los contenidos matemáticos incluida en el Diseño Curricular Base puede ser adecuada para una planificación global del currículo, pero consideramos que es insuficiente para describir la actividad de estudio de las matemáticas.

Por ejemplo, para el bloque temático de Números y Operaciones, los contenidos conceptuales que se mencionan son:

1. Números naturales, fraccionarios y decimales.
2. Sistema de Numeración Decimal.
3. Las operaciones +, -, x y %.
4. Reglas de uso de la calculadora.

Y como procedimientos se mencionan, entre otros:

1. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
2. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la resolución de problemas numéricos.

Para poder identificar las dificultades que los alumnos tienen en el estudio de las matemáticas, necesitaríamos reflexionar sobre los tipos de objetos que se ponen en juego en la actividad matemática y las relaciones que se establecen entre los mismos. Ejemplifiquemos el modelo de análisis que proponemos para el aspecto del estudio de la suma y la resta en un libro de texto.

Situaciones Didácticas (Brousseau)

Brousseau diseñó diversos tipos de situaciones didácticas:

1. Acción: El alumno explora y trata de resolver problemas; como consecuencia, construirá nuevos conocimientos matemáticos. Las situaciones de acción deben estar basadas en problemas genuinos que atraigan el interés de los alumnos, para que deseen resolverlos, y deben ofrecer la oportunidad de investigar por sí mismos posibles soluciones.
2. Formulación/Comunicación: El alumno pone por escrito sus soluciones y las comunica a otros niños o al profesor; esto le permite ejercitar el lenguaje matemático.
3. Validación: El alumno debe probar que sus soluciones son correctas y desarrollar su capacidad de argumentación.
4. Institucionalización: Se pone en común lo aprendido, se fijan y comparten las definiciones y las maneras de expresar las propiedades matemáticas estudiadas.

Dificultad, Error y Obstáculo Didáctico

Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar. El término dificultad indica el mayor o menor grado de éxito de los alumnos ante una tarea o tema de estudio. Si el porcentaje de respuestas incorrectas es elevado, se dice que la dificultad es alta, mientras que si dicho porcentaje es bajo, la dificultad es baja. Un obstáculo didáctico es un conocimiento al que llega el alumno, y la manera en que lo hace le supone una dificultad para la adquisición de nuevos conocimientos.

Material Manipulativo

Plantearemos unas reflexiones sobre esta segunda clase de recursos didácticos, que en realidad constituyen los instrumentos semióticos del trabajo matemático. Nos referimos a ellos con el nombre de manipulativos y distinguiremos dos tipos:

1. Manipulativos tangibles: Ponen en juego la percepción táctil (regletas, ábacos, piedrecillas u objetos, compás, instrumentos de medida, etc.). Es importante resaltar que los materiales tangibles también desempeñan funciones simbólicas. Por ejemplo, un niño puede usar conjuntos de piedrecillas para representar los números naturales.
2. Manipulativos gráfico-textuales-verbales: En los que participan la percepción visual y/o auditiva (gráficas, símbolos, palabras, textos, etc.). Es importante resaltar que este tipo de objetos, palabras, textos, etc., también pueden manipularse; podemos actuar sobre ellos. Sirven como medio de expresión de las técnicas y conceptos matemáticos y, al mismo tiempo, son instrumentos del trabajo matemático.

El Papel del Material Manipulativo Tangible en el Proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas

El material manipulativo tangible en la enseñanza de las matemáticas es siempre un medio para conseguir un fin, pero nunca un fin en sí mismo. Se defiende la representación para el aprendizaje significativo de las matemáticas, incluyendo las representaciones con material tangible. El material no es importante, sino que las acciones que se hacen con ese material se repitan y se aprenda manipulando.

Precauciones:

1. El material no puede anular la reflexión matemática.
2. Cuidado en separar el material manipulativo del objeto abstracto.
3. El uso del material concreto en el aprendizaje de las matemáticas resalta unos aspectos de los conceptos que tratamos de enseñar y oculta otros.