Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios

Raíces Comunes de Polinomios

Teorema 1: Combinación Lineal de Polinomios con Raíces Comunes

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces α es también raíz de la función polinómica s(x), siendo s(x) el polinomio que resulta de sumar f(x) con g(x) previamente multiplicados por números reales m y n cualesquiera.

• Hipótesis (H):
  • f(x) es una función polinómica.
  • g(x) es una función polinómica.
  • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
• Tesis (T): s(α) = 0, siendo s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x) para m, n ∈ ℝ.

Demostración:

Consideramos la expresión de s(x):

s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x)

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

s(α) = m ⋅ f(α) + n ⋅ g(α)

Por hipótesis, sabemos que f(α) = 0 y g(α) = 0. Por lo tanto:

s(α) = m ⋅ 0 + n ⋅ 0 = 0 + 0 = 0

Queda demostrado que α es raíz de s(x).

Teorema 2: Raíz Común y el Resto de la División Polinómica

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces el resto r(x) que resulta de la división de f(x) entre g(x) (asumiendo g(x) no es el polinomio nulo) también tiene a α como raíz.

• Hipótesis (H):
  • f(x) es una función polinómica.
  • g(x) es una función polinómica no nula.
  • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
• Tesis (T): r(α) = 0, siendo r(x) el resto de la división de f(x) entre g(x).

Demostración:

Por el algoritmo de la división euclidiana para polinomios, existen únicos polinomios q(x) (cociente) y r(x) (resto) tales que:

f(x) = g(x) ⋅ q(x) + r(x)

donde el grado de r(x) es estrictamente menor que el grado de g(x) o r(x) es el polinomio nulo.

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

f(α) = g(α) ⋅ q(α) + r(α)

Por hipótesis, sabemos que f(α) = 0 y g(α) = 0. Sustituyendo estos valores:

0 = 0 ⋅ q(α) + r(α)

0 = 0 + r(α)

r(α) = 0

Queda demostrado que α es raíz del resto r(x).

Relaciones entre Coeficientes y Raíces (Fórmulas de Vieta)

Polinomio de Segundo Grado

Sea f(x) = ax² + bx + c (con a ≠ 0) un polinomio de segundo grado.

• Hipótesis (H):
  • f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0.
  • α y β son las raíces de f(x), es decir, f(α) = 0 y f(β) = 0.
• Tesis (T):
  • Suma de raíces: α + β = -b/a
  • Producto de raíces: α ⋅ β = c/a

Demostración:

Realizamos la descomposición factorial de f(x) utilizando sus raíces:

f(x) = a(x - α)(x - β)

Expandimos el producto:

f(x) = a(x² - αx - βx + αβ)

f(x) = a[x² - (α + β)x + αβ]

Distribuimos el coeficiente principal a:

f(x) = ax² - a(α + β)x + aαβ

Ahora, comparamos esta expresión con la forma original del polinomio f(x) = ax² + bx + c. Por el principio de identidad de polinomios, los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado deben ser iguales:

• Coeficiente de x¹: -a(α + β) = b ⇒ α + β = -b/a
• Coeficiente de x⁰ (término independiente): aαβ = c ⇒ αβ = c/a

Quedan demostradas las relaciones.

Polinomio de Tercer Grado

Sea f(x) = ax³ + bx² + cx + d (con a ≠ 0) un polinomio de tercer grado.

• Hipótesis (H):
  • f(x) = ax³ + bx² + cx + d, con a ≠ 0.
  • α, β y γ son las raíces de f(x), es decir, f(α) = 0, f(β) = 0 y f(γ) = 0.
• Tesis (T):
  • Suma de raíces: α + β + γ = -b/a
  • Suma de productos de raíces tomadas de dos en dos: αβ + αγ + βγ = c/a
  • Producto de raíces: αβγ = -d/a

Demostración:

Realizamos la descomposición factorial de f(x):

f(x) = a(x - α)(x - β)(x - γ)

Expandimos el producto aplicando la propiedad distributiva:

f(x) = a[(x² - (α + β)x + αβ)(x - γ)]

f(x) = a[x³ - γx² - (α + β)x² + γ(α + β)x + αβx - αβγ]

Agrupamos términos semejantes:

f(x) = a[x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + αγ + βγ)x - αβγ]

Distribuimos el coeficiente principal a:

f(x) = ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + αγ + βγ)x - aαβγ

Comparamos esta expresión con la forma original f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Igualamos los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado:

• Coeficiente de x²: -a(α + β + γ) = b ⇒ α + β + γ = -b/a
• Coeficiente de x¹: a(αβ + αγ + βγ) = c ⇒ αβ + αγ + βγ = c/a
• Coeficiente de x⁰ (término independiente): -aαβγ = d ⇒ αβγ = -d/a

Quedan demostradas las relaciones. El principio de identidad de polinomios establece que dos polinomios son iguales si y solo si los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Descomposición Factorial

(Nota: El documento original termina aquí. La descomposición factorial es un concepto utilizado en las demostraciones anteriores, que consiste en expresar un polinomio como producto de sus factores lineales, relacionados con sus raíces, y su coeficiente principal.)