Propietats de Nombres, Polinomis i Fraccions Algebraiques
Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
catalán con un tamaño de 4,53 KB
Nombres Racionals i Propietats Fonamentals
Nombres Racionals
Tot nombre racional s'expressa de manera única per un nombre decimal que és exacte o periòdic.
La proporció (1 + arrel quadrada de 5) / 2 relaciona la longitud del costat gran amb la longitud del costat petit (proporció àuria).
Propietats de la Suma
- Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
- Commutativa: a + b = b + a
- Existència d'element neutre (0): a + 0 = a
- Existència d'element simètric (l'element oposat -a): a + (-a) = 0
Propietats de la Multiplicació
- Associativa: (a * b) * c = a * (b * c)
- Commutativa: a * b = b * a
- Existència d'element neutre (1): a * 1 = a
- Existència d'element simètric (l'element invers 1/a, si a ≠ 0): a * (1/a) = 1
- Distributiva de la multiplicació respecte a la suma: a * (b + c) = a * b + a * c
Propietats de les Arrels
- Propietat fonamental
- Potència d'una arrel
- Arrel d'una multiplicació
- Arrel d'una arrel
- Arrel d'una divisió
Polinomis
Definicions Bàsiques de Polinomis
El valor numèric d'un polinomi P(x) per a x=a, que representem per P(a), és el nombre que resulta de substituir la indeterminada x pel nombre a i efectuar les operacions indicades del polinomi.
Dos polinomis de la mateixa indeterminada són idèntics si tenen iguals els coeficients del mateix grau.
Operacions amb Polinomis
La suma de dos polinomis és un altre polinomi de grau igual o més petit que el més gran dels graus dels polinomis que se sumen. Els seus termes es troben sumant els termes corresponents del mateix grau de cadascun d'aquests polinomis.
La resta de dos polinomis dóna com a resultat un altre polinomi que s'obté sumant al polinomi minuend el polinomi oposat del subtrahend: A(x) - B(x) = A(x) + (-B(x)).
La multiplicació de dos polinomis és un altre polinomi de grau igual a la suma dels graus dels factors. El polinomi producte s'obté en multiplicar cada terme d'un factor per cadascun dels termes de l'altre. És a dir, s'hi ha d'aplicar successivament la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma.
Divisió de Polinomis i Regla de Ruffini
Efectuar la divisió de polinomis P(x) : D(x) consisteix a trobar dos polinomis Q(x) (quocient) i R(x) (residu) que verifiquin la igualtat: P(x) = D(x) * Q(x) + R(x). La Regla de Ruffini és un mètode per a dividir un polinomi per un binomi de la forma x-a.
El valor numèric d'un polinomi P(x) per a x=a coincideix amb el residu de la divisió d'aquest polinomi per x-a (Teorema del Residu).
Arrels, MCD i MCM de Polinomis
Un polinomi P(x) és divisible per x-a si, i només si, P(a) = 0.
Un nombre 'a' és una arrel de P(x) si, i només si, P(a) = 0.
El màxim comú divisor (MCD) de dos polinomis o més és el polinomi de grau més gran que és divisor de tots.
El mínim comú múltiple (MCM) de dos polinomis o més és el polinomi de grau més petit que és múltiple de tots.
Fraccions Algebraiques
Definicions i Equivalència
L'expressió A(x)/B(x) és una fracció algebraica, amb A(x) i B(x) polinomis i B(x) no és igual a 0.
Dues fraccions A(x)/B(x) i C(x)/D(x) són equivalents si A(x) * D(x) = B(x) * C(x).
El valor numèric de dues fraccions algebraiques equivalents per a un valor determinat de x (on els denominadors no s'anul·lin) és el mateix.
Simplificació i Operacions amb Fraccions
Si dividim els polinomis numerador i denominador d'una fracció algebraica pel seu MCD, la fracció que s'obté és irreductible.
La suma i resta de dues fraccions algebraiques o més amb el mateix denominador és una altra fracció que té el mateix denominador i que té per numerador la suma o la resta dels numeradors.
La multiplicació de dues fraccions algebraiques dóna com a resultat una altra fracció algebraica que té per numerador el producte dels numeradors dels factors i per denominador, el producte dels denominadors.