Propiedades de sistemas de ecuaciones y álgebra de matrices: suma, producto, traspuesta, determinantes e inversa

Sistemas de ecuaciones

Sistemas incompatibles (SI): si no tienen solución.

Sistemas compatibles: si tienen solución. En este caso, la solución podrá ser única y entonces diremos que el sistema es compatible determinado (SCD), o podrá tener infinitas soluciones en cuyo caso diremos que el sistema es compatible indeterminado (SCI).

Sistemas equivalentes

Se consideran equivalentes si se puede pasar de uno a otro mediante las siguientes operaciones elementales:

• Intercambiar entre sí dos ecuaciones.
• Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
• Sumarle a una ecuación otra ecuación previamente multiplicada por un número real.

Suma de matrices

La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A.

Verifica la propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.

Verifica la propiedad del elemento neutro: existe O tal que O + A = A = A + O.

Verifica la propiedad del elemento opuesto: A + (-A) = O = (-A) + A.

Producto de un número real por una matriz

Propiedades:

• Elemento neutro: 1·A = A.
• Propiedad asociativa: (k l)A = k(l·A).
• Propiedad distributiva respecto a escalares: (k + l)A = kA + lA.
• Propiedad distributiva respecto a matrices: k(A + B) = kA + kB.

Traspuesta

Propiedades:

• La traspuesta de la traspuesta es la matriz original: (A^t)^t = A.
• La traspuesta de la suma de matrices es la suma de las traspuestas: (A + B)^t = A^t + B^t.
• La traspuesta del producto de un número real por una matriz es el producto del número real por la traspuesta de la matriz: (kA)^t = k A^t.
• La diagonal principal de una matriz coincide con la diagonal principal de su traspuesta.

Matriz simétrica y antisimétrica

Una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta; es decir, A es simétrica si y sólo si A = A^t.

Una matriz es antisimétrica cuando coincide con la matriz opuesta de su traspuesta; es decir, A es antisimétrica si y sólo si A = -A^t.

Producto de matrices

Propiedades:

• Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C.
• Propiedad distributiva (cuando los productos están definidos): A(B + C) = AB + AC y (A + B)C = AC + BC.
• Traspuesta del producto: (AB)^t = B^t A^t.

Propiedades de los determinantes

• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.
• El determinante del producto es el producto de los determinantes: |AB| = |A| · |B|.
• El determinante de una matriz coincide con el determinante de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• Si se multiplica una fila o columna de una matriz por un número real, su determinante queda multiplicado por dicho número.
• Si A es una matriz cuadrada de orden n y k es un número real, entonces |kA| = kⁿ |A|.
• El determinante de una matriz con una fila o columna de ceros es cero.
• Si en un determinante se intercambian dos filas o columnas, éste queda multiplicado por -1.
• El determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales vale cero.
• El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales vale cero.
• El determinante de una matriz con una fila o columna que es combinación lineal de otras filas o columnas vale cero.
• Si todos los elementos de una fila o columna se descomponen en dos sumandos, entonces este determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila o columna a los primeros y segundos sumandos, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

Inversa

Si A es invertible, entonces A^-1 = (1/|A|) · (adj A)^t.

Espacios vectoriales

Teorema 1

Sea S un subconjunto con las siguientes propiedades:

1. Para todo u, v pertenecientes a S, se cumple u + v ∈ S.
2. Para todo a perteneciente a R y para todo u ∈ S, se cumple au ∈ S.