Propiedades de la Región de Convergencia (ROC) en las Transformadas Z y de Laplace

ROC de la Transformada Z

• P1: La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen.
• P2: La ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
• P4: Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r₀ también estarán en la ROC.
• P5: Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores z para los cuales 0<|z|<r₀ también estarán en la ROC.
• P6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces esta consistirá en un anillo en el plano z que incluye al círculo |z|=r₀.
• P7: Si la transformada X(z) de x[n] es racional, entonces su ROC está limitada por polos o se extiende al infinito.
• P8: Si la transformada z X(z) de x[n] es racional, y si x[n] es derecha, entonces la ROC es la región en el plano z fuera del polo más alejado, es decir, fuera del círculo de radio igual a la magnitud más grande de los polos.

ROC de la Transformada de Laplace

• P1: La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje jω en el plano s.
• P2: Para transformadas racionales de Laplace, la ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x(t) es de duración finita y es absolutamente integrable, entonces la ROC es el plano s completo.
• P4: Si x(t) está en el miembro derecho y si la línea Re{s}=9 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re{s}>9 también estarán en la ROC.
• P5: Si x(t) es izquierda y si la línea Re(s)=9 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re(s)<9 también estarán en la ROC.
• P6: Si x(t) es bilateral y si la línea Re(s)=9 está en la ROC, entonces la ROC consistirá en una banda en el plano s que incluye la línea Re(s)=9.
• P7: Si la transformada de Laplace X(s) de x(t) es racional, entonces la ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito. Además, ningún polo de X(s) está contenido en la ROC.
• P8: Si la transformada de Laplace X(s) de x(t) es racional, entonces si x(t) es derecha, la ROC será la región en el plano s que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha. Para una señal x(t) izquierda, la ROC será la región en el plano s que se encuentra a la izquierda del polo localizado más hacia la izquierda.