Propiedades métricas y deformaciones en proyecciones cartográficas

Coordenadas geográficas

Latitud = φ. En φ = 0 está el ecuador; en φ = 90° está el polo.

Longitud = λ. El meridiano origen tiene λ = 0.

Propiedades métricas de una proyección

¿Cuáles son las tres más importantes que podemos exigir? ¿Pueden satisfacerse todas o varias a la vez?

Las tres propiedades métricas más importantes son:

• K1 = 1 — Equidistancia: conserva distancias en todo punto → No.
• K2 = 1 — Equivalencia: conserva áreas en todo punto → Sí (para proyecciones equivalentes).
• K3 = 0 — Conformidad: conserva ángulos en todo punto → Sí (para proyecciones conformes).

No se pueden satisfacer simultáneamente K2 y K3 (ni, en general, todas las propiedades métricas) a la vez.

Teoría de deformaciones de Tissot

¿Cuál es la condición de conservación angular?

La condición de conservación angular (conformidad) es que los parámetros a y b sean iguales en cada punto; así el círculo diferencial se transforma en otro círculo en vez de en una elipse. En términos de ángulos representativos, el ángulo proyectado sería α = 90° + dα.

Características métricas para mapas topográficos

Para utilizarse en la elaboración de mapas topográficos una proyección debe:

• Ser conforme (conservación local de ángulos).
• Que los coeficientes k no excedan valores críticos: 0,999500 < k < 1,000500.
• Que las deformaciones no sean muy elevadas.

Aplicaciones cartográficas

• Mapas topográficos: se usan proyecciones conformes.
• Mapas temáticos: varía según el objetivo, pero normalmente se prefieren proyecciones equivalentes cuando interesa conservar áreas (demográficos, socioeconómicos, etc.).

Para que una proyección sea conforme, el factor k1 debe ser independiente de la dirección.

Relación entre distorsión lineal y superficial en proyecciones conformes

Demuestra que el coeficiente de distorsión superficial es el cuadrado del coeficiente de distorsión lineal en proyecciones conformes

En proyecciones conformes se cumple que a = b en todo punto.

Entonces:

K1 = sqrt(a^2 cos^2 φ + b^2 sen^2 φ) = a sqrt(cos^2 φ + sen^2 φ) = a

K2 = a·b = a^2 = K1^2

Por tanto, el coeficiente de distorsión superficial (K2) es el cuadrado del coeficiente de distorsión lineal (K1) en proyecciones conformes.

Cálculo del ángulo entre meridiano y paralelo en la proyección

Obteniendo dα de la fórmula correspondiente (penúltima fórmula) el ángulo entre meridianos y paralelos en la proyección resulta:

α = 90° + dα

Elipse de Tissot

¿Qué es y con qué finalidad se utiliza?

La elipse de Tissot es la imagen en la proyección de un círculo diferencial de radio unidad ubicado sobre la superficie de referencia. Ese círculo se transforma en una elipse; sus semiejes indican las magnitudes de deformación y su orientación indica las direcciones de máxima y mínima deformación.

Se utiliza para visualizar las distorsiones introducidas por una proyección cartográfica. Sus ventajas son de carácter métrico: permiten observar si la proyección conserva ángulos (conformidad), superficies (equivalencia) o distancias (equidistancia), y cuantificar la magnitud y dirección de las deformaciones locales.

Artificio de Tissot

¿Qué es, cuál es su utilidad y para qué sirve? Pon un ejemplo

El artificio de Tissot consiste en aplicar un factor de escala k0 = 0,9996 (valor típico para ciertos usos) al cilindro para hacerlo ligeramente más pequeño; al cortar el cilindro con el elipsoide original se generan dos líneas de contacto. De esta forma aparecen cuatro bandas de deformación que aumentan desde las líneas de contacto hacia el centro y los extremos del huso.

Sirve para evaluar y constatar las deformaciones sufridas por un círculo elemental de terreno. El resultado visual son las conocidas elipses de error, cuyos ejes indican la magnitud y la dirección de las deformaciones máxima y mínima.

Sistemas de coordenadas isométricos

La isometría determina una dirección de visualización en la que las proyecciones de los ejes coordenados x, y, z forman el mismo ángulo entre sí (es decir, 120°). Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 30° respecto a las tres direcciones principales (x, y, z).

Loxodrómicas en proyecciones isométricas

¿Qué propiedad verifican en esta proyección las loxodrómicas sobre la esfera? (Recuerda que para éstas λ = ψ tan θ con θ constante). Demuéstralo

La respuesta apuntada es que la longitud (λ) está en función de la tangente, es decir, que λ depende de tan θ cuando θ es constante. Esta relación refleja la dependencia funcional indicada (λ = ψ tan θ) y la propiedad proyectiva que resulta de mantener θ constante para las loxodrómicas.