Propiedades de la Media Aritmética, Moda y Mediana: Influencia de los Datos Extremos

Actividad 5: Propiedades de las Medidas de Tendencia Central

Esta actividad tiene como objetivo demostrar la influencia de los valores individuales de los datos en la media aritmética. Además, exploraremos qué sucede con las otras medidas de tendencia central, la moda y la mediana, en relación con esta propiedad.

Enunciado del Problema (con resolución)

Hemos realizado una encuesta a los compañeros de clase preguntando acerca de cuántos hermanos tiene cada uno. El resultado obtenido ha sido el siguiente:

Datos iniciales: 1, 3, 5, 5, 7, 1, 3, 7, 3 hermanos.

A) Media Aritmética

Cálculo Inicial y Sensibilidad a los Datos

¿Cuál es el número de hermanos que tienen en promedio tus compañeros de clase?

Escenario 1: Corrección de un Error

A la hora de transcribir las respuestas de tus compañeros, ha habido un error: uno de los compañeros que aparece con 3 hermanos tiene realmente 5.

1. Recalcula el número medio de hermanos. ¿Qué observas?
2. ¿Te ha cambiado el resultado?

Escenario 2: Influencia de Valores Extremos (Outliers)

¿Crees que variará el resultado si modificas uno de los valores extremos (el mayor o el menor) o crees que no se verá influenciado por el hecho de ser un valor extremo? Cambia, por ejemplo, el valor 7 por el valor 4.

3. ¿Qué observas?
4. ¿A qué conclusión general llegas?

Nota del Profesor: Obviamente, el resultado cambiará, pero es interesante que hagáis explícitamente variar los valores extremos, puesto que uno de los errores comunes es pensar que la media aritmética no varía al cambiar estos valores.

De alguna manera, los estudiantes perciben que los valores extremos están muy alejados del “centro” y, por tanto, no se ven afectados. En realidad, ocurre todo lo contrario: los valores extremos influyen mucho en la media aritmética y hacen que esta se desplace hacia dichos valores.

La finalidad es hacer ver que alterar uno de los datos SIEMPRE conlleva una alteración de la media aritmética.

La solución será [Se espera la resolución matemática aquí].

B) Moda

Cálculo Inicial de la Moda

¿Cuál es el número de hermanos que se repite más veces (moda)?

La solución será que la moda = 3 hermanos, puesto que aparece 3 veces en la secuencia, y no hay ningún otro valor con esta frecuencia o superior.

Escenario 1: Cambio en la Moda

A la hora de transcribir las respuestas de tus compañeros, ha habido un error: uno de los compañeros que aparece con 3 hermanos tiene realmente 5. Recalcula la moda. ¿Qué observas? ¿Te ha cambiado el resultado?

Con el cambio que hemos propuesto, la nueva secuencia será: 1, 5, 5, 5, 7, 1, 3, 7, 3. Este es un cambio que el maestro ha diseñado para que la moda SÍ se vea alterada, puesto que ahora el valor más frecuente es 5 hermanos, y no 3.

Escenario 2: Invariabilidad de la Moda

A continuación, para que no se le dé validez general a la afirmación de que variando un dato varía la moda, le propondremos un cambio que no alterará la moda.