Propiedades Fundamentales de las Operaciones Matemáticas con Números Racionales

Propiedades Fundamentales de las Operaciones con Números Racionales

Propiedad Conmutativa

Esta propiedad indica si el orden de los operandos afecta el resultado.

• Respecto a la Adición

  El orden de los sumandos no varía el resultado.
  Ejemplo: a/b + c/d = c/d + a/b

• Respecto a la Multiplicación

  El orden de los factores no altera el producto.
  Ejemplo: a/b ⋅ c/d = c/d ⋅ a/b

• Respecto a la División

  No se verifica esta propiedad, ya que el orden de los operandos sí altera el resultado.
  Ejemplo: a/b : c/d ≠ c/d : a/b

Propiedad Asociativa

Esta propiedad indica si el modo de agrupar los operandos afecta el resultado.

• Respecto a la Adición

  El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
  Ejemplo: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

• Respecto a la Multiplicación

  El modo de agrupar los factores no varía el producto.
  Ejemplo: (a/b ⋅ c/d) ⋅ e/f = a/b ⋅ (c/d ⋅ e/f)

• Respecto a la División

  No se verifica esta propiedad.
  Ejemplo: (a/b : c/d) : e/f ≠ a/b : (c/d : e/f)

Propiedad Distributiva

• De la Multiplicación respecto a la Adición

  El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
  Ejemplo: e/f ⋅ (a/b + c/d) = (e/f ⋅ a/b) + (e/f ⋅ c/d)

• De la División respecto a la Adición

  Solo se verifica si la suma es el dividendo (se encuentra a la izquierda del divisor).
  Ejemplo: (a/b + c/d) : e/f = (a/b : e/f) + (c/d : e/f)

Propiedad Uniforme

• En la Multiplicación

  Si ambos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número, se obtiene otra igualdad.
  Ejemplo: Si a/b = c/d, entonces a/b ⋅ e/f = c/d ⋅ e/f

• En la División

  Si ambos miembros de una igualdad se dividen por el mismo número (distinto de cero), se obtiene otra igualdad.
  Ejemplo: Si a/b = c/d, entonces a/b : e/f = c/d : e/f (con e/f ≠ 0)

Elementos Especiales

• Elemento Neutro

  El cero (0) es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número.
  Ejemplo: a/b + 0 = a/b

  El uno (1) es el elemento neutro en la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
  Ejemplo: a/b ⋅ 1 = a/b

• Elemento Inverso

  Un número es el inverso multiplicativo de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento neutro de la multiplicación (la unidad).
  Ejemplo: a/b ⋅ b/a = 1

Propiedades de la Potenciación y Radicación

Operaciones con Potencias de la Misma Base

• Producto de Potencias

  Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
  Ejemplo: (a/b)ᵐ ⋅ (a/b)ⁿ = (a/b)ᵐ⁺ⁿ

• Cociente de Potencias

  Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
  Ejemplo: (a/b)ᵐ : (a/b)ⁿ = (a/b)ᵐ⁻ⁿ

• Potencia de una Potencia

  Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
  Ejemplo: [(a/b)ᵐ]ⁿ = (a/b)ᵐ⋅ⁿ

Propiedad Distributiva de la Potenciación

• Respecto a la Adición y Sustracción

  No se verifica la propiedad distributiva.
  Ejemplo: (a/b + c/d)ᵐ ≠ (a/b)ᵐ + (c/d)ᵐ

• Respecto a la Multiplicación

  La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Se potencian las bases por separado y luego se multiplican los resultados.
  Ejemplo: (a/b ⋅ c/d)ᵐ = (a/b)ᵐ ⋅ (c/d)ᵐ

• Respecto a la División

  La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor. Se potencian las bases por separado y luego se dividen los resultados.
  Ejemplo: (a/b : c/d)ᵐ = (a/b)ᵐ : (c/d)ᵐ

Otras Propiedades

• Potencia de un Número Racional

  Se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente indicado.
  Ejemplo: (a/b)ᵐ = aᵐ / bᵐ

• Raíz de una Raíz

  Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
  Ejemplo: ⁿ√(ᵐ√(a/b)) = ⁿᵐ√(a/b)