Propiedades Fundamentales de las Operaciones Matemáticas Básicas

Este documento explora las propiedades esenciales de la suma, resta, multiplicación y división, fundamentales para comprender el comportamiento de los números en las operaciones aritméticas.

Propiedades de la Suma

• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

  a + b = b + a
  Ejemplo: 2 + 17 = 17 + 2
           19     = 19
          

• Asociativa: El orden en que se agrupen los sumandos no cambia el resultado de la suma. En otras palabras, el orden en que se realicen las sumas no afecta el resultado final.

  (a + b) + c = a + (b + c)
  Ejemplo: (3 + 15) + 21 = 3 + (15 + 21)
           18     + 21 = 3 + 36
           39          = 39
          

• Elemento Neutro: El elemento neutro de una operación es aquel número que, al operarse con cualquier otro, no altera su valor. Para la suma de números naturales, el elemento neutro es el cero (0).

  a + 0 = 0 + a = a
  Ejemplo: 56 + 0 = 56
           0 + 56 = 56
          

Propiedades de la Resta

La resta no cumple con la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni posee un elemento neutro.

Propiedad Fundamental de la Resta

En una resta, siempre se cumple la siguiente relación:

MINUENDO = DIFERENCIA + SUSTRAENDO
Ejemplo: 27 – 13 = 14  =>  27 = 14 + 13

Propiedades de la Multiplicación

• Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

  a · b = b · a
  Ejemplo: 2 · 17 = 17 · 2
           34     = 34
          

• Asociativa: La forma en que se agrupen los factores no cambia el resultado de la multiplicación. Es decir, el orden en que se realicen las multiplicaciones no afecta el resultado final.

  (a · b) · c = a · (b · c)
  Ejemplo: (3 · 15) · 2 = 3 · (15 · 2)
           45     · 2 = 3 · 30
           90          = 90
          

• Elemento Neutro: El elemento neutro para la multiplicación de números naturales es el uno (1).

  a · 1 = 1 · a = a
  Ejemplo: 56 · 1 = 56
           1 · 56 = 56
          

• Distributiva del Producto con Respecto a la Suma o la Resta: Esta propiedad establece que el producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos de dicho número por cada uno de los términos de la suma o de la resta.

  a · (b + c) = a · b + a · c
  a · (b – c) = a · b – a · c
  
  Ejemplos:
  6 · (5 + 3) = 6 · 5 + 6 · 3
  6 · 8       = 30 + 18
  48          = 48
  
  6 · (5 – 3) = 6 · 5 – 6 · 3
  6 · 2       = 30 – 18
  12          = 12
          

• Sacar Factor Común: Es la aplicación inversa de la propiedad distributiva. Consiste en transformar una suma o resta de productos que comparten un factor común en un producto de dicho factor común por la suma o resta de los demás factores.

  a · b + a · c – a · d = a · (b + c – d)
  
  Ejemplos:
  6 · 5 + 6 · 3 = 6 · (5 + 3)
  6 · 5 – 6 · 3 = 6 · (5 – 3)
  4 · 2 + 5 · 4 – 4 · 3 = 4 · (2 + 5 – 3)
          

Propiedades de la División

La división no cumple con la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni posee un elemento neutro. Sin embargo, sí cumple con otras propiedades específicas:

Propiedad Fundamental de la División

En una división, siempre se cumple la siguiente relación:

DIVIDENDO = COCIENTE · DIVISOR + RESTO
D = c · d + r

En esta propiedad se basa la prueba de la división.

Ejemplo: 27 : 13 = 2 ; r = 1  =>  27 = 2 · 13 + 1

Propiedad del Cociente

Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número (distinto de cero), el cociente no varía, y el resto queda multiplicado o dividido por el mismo número.

D : d = c ; r  ----->  (D · n) : (d · n) = c ; r · n

Ejemplos:
17 : 5 = 3 ; r = 2  ----->  (17 · 10) : (5 · 10) = 170 : 50 = 3 ; r = 2 · 10 = 20
180 : 30 = 6 ; r = 0  ----->  (180 : 10) : (30 : 10) = 18 : 3 = 6 ; r = 0 : 10 = 0

Por esta razón, cuando el dividendo y el divisor terminan en ceros, se puede simplificar la división suprimiendo la misma cantidad de ceros en ambos.

Ejemplos:
2800 : 40 = 280 : 4 = 70
6480 : 300 = 648 : 30 = 21 ; r = 18

Propiedad de los Restos

La suma del resto por defecto (rd) y del resto por exceso (re) es igual al divisor (d).

rd + re = d

Ejemplo:
Para 13 : 5:
Resto por defecto: 13 : 5 = 2 ; rd = 3
Resto por exceso:  13 : 5 = 3 ; re = 2
Verificación: rd + re = 3 + 2 = 5 = d