Propiedades Fundamentales de Logaritmos y Álgebra Polinomial

Conceptos Fundamentales de Logaritmos

Si $a > 0$ y $a \neq 1$, se llama logaritmo en base $a$ de $P$, y se designa $\log_a P$, al exponente al que hay que elevar la base $a$ para obtener $P$.

$$\log_a P = x \Leftrightarrow a^x = P$$

Propiedades Esenciales de los Logaritmos

1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si $P \neq Q$, entonces $\log_a P \neq \log_a Q$. Si $a > 1$ y $P < Q$, entonces $\log_a P < \log_a Q$.
2. El logaritmo de la base es 1: $\log_a a = 1$, porque $a^1 = a$.
3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base: $\log_a 1 = 0$, porque $a^0 = 1$.
4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_a (P \cdot Q) = \log_a P + \log_a Q$.
5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el del denominador: $\log_a \left(\frac{P}{Q}\right) = \log_a P - \log_a Q$.
6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia: $\log_a P^n = n \log_a P$.
7. El logaritmo de un radical es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice.
8. Cambio de base. El logaritmo en base $a$ de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base.

Álgebra Polinomial y Fracciones Algebraicas

Divisibilidad y Factorización de Polinomios

Un polinomio $P(x)$ es divisible por otro polinomio $Q(x)$ cuando $P(x) : Q(x)$ es exacto. En tal caso, $P(x) : Q(x) = C(x)$. Y, por tanto, $P(x) = Q(x) \cdot C(x)$.

Descomposición de Polinomios de Segundo Grado

Un polinomio de segundo grado con raíces $a$ y $b$ se puede descomponer en forma de producto:

$$k(x – a)(x – b)$$

Fracciones Algebraicas

Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios, $\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Simplificación y Equivalencia

• Simplificación. Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se pueden dividir por un mismo polinomio (de grado mayor o igual que 1), al hacerlo se simplifica la fracción. Por ejemplo: [Se asume que aquí iría un ejemplo visual].
• Una fracción cuyos términos (numerador y denominador) son primos entre sí, se llama irreducible. Si en una fracción algebraica dividimos numerador y denominador por su máx. c. d., se obtiene una fracción irreducible.
• Dos fracciones algebraicas son equivalentes si: Una de ellas se obtiene simplificando la otra, o bien, ambas, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción.

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones Polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son del tipo $P(x) = 0$, donde $P(x)$ es un polinomio. Veamos algunos tipos especialmente destacables:

Ecuaciones Cuadráticas

Son de la forma $ax^2 + bx + c = 0$. Se resuelven aplicando esta fórmula:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

• Si $b^2 - 4ac > 0$, hay dos soluciones.
• Si $b^2 - 4ac = 0$, hay una solución.
• Si $b^2 - 4ac < 0$, no hay solución (en los reales).

Ecuaciones Bicuadradas

Son de la forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Se resuelven haciendo el cambio de variable $x^2 = y$.

Soluciones y Sistemas

• Una solución de una ecuación con varias incógnitas es un conjunto de valores (uno para cada incógnita) que hacen cierta la igualdad. Las ecuaciones con más de una incógnita suelen tener infinitas soluciones.
• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de las que pretendemos encontrar su solución común (o sus soluciones comunes), o bien, reconocer que no tienen ninguna solución común (incompatibles).

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Observa estas tres inecuaciones y el sistema de inecuaciones: [Se asume que aquí irían ejemplos visuales]. Como ves, se trata de desigualdades en las que se usan los signos $<, \leq, >, \text{ o } \geq$.

Conceptos sobre Soluciones de Inecuaciones

• Solución de una inecuación: Es un valor de $x$ con el cual se cumple la desigualdad.
• Solución de un sistema de inecuaciones: Es una solución común a todas las inecuaciones que lo forman.
• Resolver una inecuación o un sistema de inecuaciones: Consiste en encontrar todas sus soluciones. Habitualmente tienen infinitas, que se agrupan en intervalos.

Resumen de Operaciones con Polinomios

Definiciones Clave

• Raíz de un polinomio: El número para el que el valor numérico del polinomio es cero.
• Factorizar un polinomio: Ponerlo como producto de polinomios irreducibles.
• Polinomios irreducibles: Son los que no se pueden poner como productos de polinomios más sencillos. Son los de grado 1 y grado 2 sin raíces reales.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

FRACCIONES ALGEBRAICAS:

• Simplificar: Factorizar y dividir numerador y denominador por lo mismo.
• Equivalentes: Al simplificar llegamos al mismo resultado.
• Reducir a común denominador: Factorizar los denominadores y calcular el mcm y multiplicar numerador y denominador de cada fracción para obtener fracciones equivalentes con denominador el mcm.