Propiedades Fundamentales de Intervalos y Solución de Inecuaciones en el Conjunto de Números Reales

Conceptos Fundamentales de Intervalos y Desigualdades en $\mathbb{R}$

Definición de Intervalo de Números Reales

Un intervalo de números reales es un conjunto de números reales tal que si dos números reales pertenecen al conjunto, también pertenecen todos los números comprendidos entre ambos.

Intervalos Finitos

• Abierto: $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b \}$. Conjunto de números reales comprendidos entre $a$ y $b$, excluidos los extremos.
• Cerrado: $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \}$. Conjunto de números reales comprendidos entre $a$ y $b$, incluidos los extremos.
• Semiabierto (o Semifinito por la derecha): $[a,b) = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b \}$.
• Semicerrado (o Semifinito por la izquierda): $(a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b \}$.

Punto Medio de un Segmento: $PM = \frac{a+b}{2}$.

Intervalos Infinitos

• Abiertos: $(a,\infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a \}$ y $(-\infty, a) = \{x \in \mathbb{R} : x < a \}$.
• Recta Completa: $(-\infty,\infty) = \mathbb{R}$.
• Cerrados: $[a,\infty) = \{x \in \mathbb{R} : x \ge a \}$ y $(-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} : x \le a \}$.

Concepto de Inecuación

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas y consta de dos miembros. Las inecuaciones se clasifican según las expresiones algebraicas que las componen:

• Polinómicas: Las expresiones son polinomios y el grado de la inecuación es el mayor de los grados de los polinomios.
• Racionales: Cuando alguna expresión algebraica contiene una o más fracciones algebraicas.

Solución de una Inecuación: Consta de tantos números como incógnitas (es un valor para cada una) que satisfacen la desigualdad.

Tipos de Inecuaciones y Métodos de Solución

Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Forma general: $ax+b \le 0$ o $ax+b \ge 0$.

• Inecuaciones Lineales: Si su solución es, por ejemplo, $x \le 1$, se expresa como $[1, \infty)$. Se debe tener cuidado al cambiar de signo, ya que esto implica multiplicar o dividir por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones de Segundo Grado

Forma general: $ax^2+bx+c \le 0$ o $ax^2+bx+c \ge 0$.

Para resolver esta inecuación se factoriza la ecuación asociada ($ax^2+bx+c=0$) y se utiliza el método de los signos ($+,-$) para determinar el intervalo solución. La solución se expresa con intervalos.

Inecuaciones Polinómicas de Grado Mayor que 2

Fórmula: $P(x) \ge 0$ o $P(x) \le 0$ (donde el grado de $P(x) > 2$).

Para calcularlo, se factoriza el polinomio y los signos se analizan en los intervalos definidos por sus raíces. Si una inecuación no tiene solución, se indica que su solución es el conjunto vacío ($\emptyset$). Si la inecuación siempre es cierta (ej. $x^2+1 > 0$), su solución es $\mathbb{R}$.

Inecuaciones Racionales con una Incógnita

Forma general: $\frac{P(x)}{Q(x)} \le 0$ o $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$.

Se factoriza y se analiza el signo del numerador y del denominador conjuntamente. La solución se expresa en intervalos, recordando que las raíces del denominador no pueden formar parte de la solución.

Inecuaciones con Valor Absoluto

• $|x| = a \implies x = \pm a$.
• $|x| < a \implies -a < x < a$.
• $|x| > a \implies x > a \text{ o } x < -a$.

Esto se interpreta geométricamente como la distancia al origen: $|x| > 3$ es equivalente a $d(x, 0) > 3$. Para $|x| < 3$, la solución es $(-3, 3)$. Para $|x| > 3$, la solución es $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Sistemas de Inecuaciones

Sistema de Inecuaciones con una Incógnita

Es un conjunto de dos o más inecuaciones que deben cumplirse (verificarse) a la vez. La solución del sistema es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada inecuación.

Procedimiento: Se resuelven las inecuaciones por separado y luego se calculan las soluciones comunes. Para calcular la solución al conjunto es recomendable representar los intervalos en la misma línea y coger la zona común.

Inecuaciones Lineales con Dos Incógnitas

Es una expresión algebraica de la forma: $ax+by \ge c$ o $ax+by \le c$.

Una solución es un par de números $(x, y)$ que verifican la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación lineal es un conjunto convexo del plano que se corresponde con uno de los semiplanos en que la recta $ax+by = c$ divide el plano.

La recta $ax+by+c=0$ es la frontera.

• $ax+by+c > 0$ o $ax+by+c < 0$ representan los semiplanos abiertos (sin bordes).
• $ax+by+c \ge 0$ o $ax+by+c \le 0$ representan los semiplanos cerrados (con bordes).

Para colorear la zona: Cogemos un punto cualquiera que no esté en la recta y sustituimos sus coordenadas en la inecuación. Si se cumple, coloreamos la zona donde se encuentra el punto sustituido.

Conceptos Relacionados con el Valor Absoluto y la Distancia

Número Real

Todos los números decimales (incluyendo enteros y fraccionarios).

Valor Absoluto y Distancia

Dado un número real $a$, se llama valor absoluto de $a$ y se representa $|a|$, a la distancia del punto que representa a $a$ al origen (cero) en la recta real. $|a| = d(a, 0) \ge 0$.

• $|a| = 0 \implies a = 0$.
• Siempre: $|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \ge 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$

Ejemplo: $|x^2| = x^2$ porque $x^2$ siempre es mayor o igual a cero.

Distancia entre Dos Números

La distancia entre dos números reales $a$ y $b$ es: $d(a,b) = |a-b|$.

Entornos

Entorno $E$ de un número $a$: Es cualquier intervalo abierto que lo contiene.

Entorno Simétrico

El entorno simétrico de centro $a$ y radio $r$ es el conjunto de números reales cuya distancia a $a$ es menor que $r$: $E(a,r) = \{x \in \mathbb{R} : d(x,a) < r \} = (a-r, a+r)$, donde $r > 0$.

Entorno Reducido de un Número

El entorno reducido de centro $a$ y radio $r$ es el entorno simétrico excluyendo el centro $a$: $E^{\cdot}(a,r) = \{x : 0 < d(x,a) < r \} = (a-r, a) \cup (a, a+r)$.

Nota: $r$ debe ser siempre mayor que cero. $E(a,0)$ es un intervalo imposible, y $E^{\cdot}(3,0)$ no existe.

Acotación de Conjuntos

Acotado: Un conjunto $A$ de números reales está acotado superiormente si existe un número real $k$ tal que $x \le k$ para todo $x \in A$. Ese número $k$ es una cota superior del conjunto $A$. Estas se denominan extremo superior y se representan: $\text{ext}(A)$ (con una raya arriba).

Un conjunto $A$ está acotado inferiormente si existe un número real $m$ tal que $m \le x$ para todo $x \in A$. Ese número $m$ es una cota inferior de $A$. El extremo inferior se representa: $\text{ext}(A)$ (con una raya abajo).