Propiedades Fundamentales de Espacios Métricos y Normados

Propiedades de Espacios Métricos y Normados

Demostración

Sea y ∈ B*(x, r). Entonces 0 < d(x, y) < r. Tomemos ε := min{ d(x,y), r − d(x,y) } > 0.

Afirmamos que B(y, ε) ⊆ B*(x, r). Sea z ∈ B(y, ε), es decir d(y, z) < ε.

• Por desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε ≤ d(x, y) + (r − d(x, y)) = r.
• Además, d(x, z) ≥ d(x, y) − d(y, z) > d(x, y) − ε ≥ d(x, y) − d(x, y) = 0.

Luego z ∈ B*(x, r), lo que prueba que B*(x, r) es abierto. ∎

Demostración

Denotemos A = { t > 0 : (1/t)x ∈ B(0,1) } = { t > 0 : ‖(1/t)x‖ < 1 } = { t > 0 : ‖x‖/t < 1 } = { t > 0 : t > ‖x‖ }.

• Si x = 0, entonces A = (0, ∞) y inf A = 0 = ‖x‖.
• Si x ≠ 0, entonces A = (‖x‖, ∞), y por tanto inf A = ‖x‖. ∎

Demostración

Como x ≠ y, tenemos d(x, y) > 0. Sea r := d(x, y)/2 > 0.

Definimos U := B(x, r) y V := B(y, r). Claramente x ∈ U y y ∈ V, y ambos son abiertos.

Si U ∩ V ≠ ∅, existe z ∈ U ∩ V, entonces d(x, z) < r y d(y, z) < r. Por desigualdad triangular:

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < r + r = d(x, y). Contradicción. Por tanto U ∩ V = ∅. ∎

Propiedades de Interior y Clausura

a) (A ∩ B)° = A° ∩ B°

(⊆) Si x ∈ (A ∩ B)°, existe r > 0 con B(x,r) ⊆ A ∩ B, luego B(x,r) ⊆ A y B(x,r) ⊆ B, entonces x ∈ A° ∩ B°.

(⊇) Si x ∈ A° ∩ B°, existen r₁, r₂ > 0 con B(x,r₁) ⊆ A y B(x,r₂) ⊆ B. Con r = min(r₁,r₂), B(x,r) ⊆ A ∩ B, luego x ∈ (A ∩ B)°. ∎

b) A° ∪ B° ⊆ (A ∪ B)°

Si x ∈ A°, existe r > 0 con B(x,r) ⊆ A ⊆ A ∪ B, por lo que x ∈ (A ∪ B)°. Análogamente si x ∈ B°. ∎

Nota: La inclusión puede ser estricta. Ejemplo: A = ℚ, B = ℝ\ℚ en ℝ, entonces A° = B° = ∅ pero (A ∪ B)° = ℝ.

c) Si A ⊆ B, entonces Ā ⊆ B̄

Sea x ∈ Ā. Para todo r > 0, B(x,r) ∩ A ≠ ∅. Como A ⊆ B, se tiene B(x,r) ∩ B ≠ ∅. Luego x ∈ B̄. ∎

d) A ∪ B = Ā ∪ B̄

(⊇) Ā ⊇ A y B̄ ⊇ B, luego Ā ∪ B̄ ⊇ A ∪ B. Como Ā ∪ B̄ es cerrado (unión finita de cerrados), A ∪ B ⊆ Ā ∪ B̄.

(⊆) Por c), A ∪ B ⊆ Ā ∪ B̄ implica A ∪ B ⊆ Ā ∪ B̄. Pero Ā ∪ B̄ es cerrado que contiene A ∪ B, entonces A ∪ B ⊆ Ā ∪ B̄. ∎

e) A ∩ B ⊆ Ā ∩ B̄

Por c), A ∩ B ⊆ A implica A ∩ B ⊆ Ā, y A ∩ B ⊆ B implica A ∩ B ⊆ B̄. Luego A ∩ B ⊆ Ā ∩ B̄. ∎

f) (A°)ᶜ = Āᶜ

x ∈ (A°)ᶜ ⟺ x ∉ A° ⟺ para todo r > 0, B(x,r) ⊄ A ⟺ para todo r > 0, B(x,r) ∩ Aᶜ ≠ ∅ ⟺ x ∈ Āᶜ. ∎

g) (Aᶜ)° = (Ā)ᶜ

Por f) aplicado a Aᶜ: ((Aᶜ)°)ᶜ = Āᶜᶜ = Ā. Tomando complemento en ambos lados: (Aᶜ)° = (Ā)ᶜ. ∎

h) (A \ A°)° = ∅

Sea x ∈ (A \ A°)°. Existe r > 0 con B(x,r) ⊆ A \ A° ⊆ A, entonces x ∈ A°. Pero si x ∈ A° y B(x,r) ⊆ A \ A°, todo punto de B(x,r) estaría en A pero no en A°, contradiciendo que B(x,r) ⊆ A° (ya que B(x,r) es un entorno abierto de sus puntos contenido en A). Contradicción. ∎

i) A ∩ B̄ ⊆ Ā ∩ B si A es abierto

Sea x ∈ A ∩ B̄. Como x ∈ B̄, para todo r > 0 se tiene B(x,r) ∩ B ≠ ∅. Como A es abierto y x ∈ A, existe ε > 0 con B(x,ε) ⊆ A. Para todo r ≤ ε, B(x,r) ∩ B ≠ ∅ y B(x,r) ⊆ A, luego B(x,r) ∩ (A ∩ B) ≠ ∅. Esto prueba x ∈ A ∩ B̄. Además x ∈ A ⊆ Ā, así x ∈ Ā ∩ B. ∎

Ejercicio 5

Sean (V, ‖·‖) un espacio normado y S ⊂ V un subespacio vectorial con S ≠ V.

a) int S = ∅

Supongamos que int S ≠ ∅, es decir existe x ∈ S y r > 0 con B(x, r) ⊆ S. Para cualquier v ∈ V, existe n ∈ ℕ tal que ‖(r/2n)v‖ = (r/2n)‖v‖ < r (para n suficientemente grande). Entonces x + (r/2n)v ∈ B(x, r) ⊆ S. Como x ∈ S y S es subespacio, (r/2n)v ∈ S, y por ser S cerrado bajo escalares, v ∈ S. Esto implica V ⊆ S, contradiciendo S ≠ V. ∎

b) v + S tiene interior vacío para todo v ∈ V

Si int(v + S) ≠ ∅, existe w ∈ v + S y r > 0 con B(w, r) ⊆ v + S. La traslación x ↦ x − v es un homeomorfismo, luego B(w − v, r) ⊆ S, lo que implica int S ≠ ∅. Contradicción con a). ∎

c) S̄ᶜ = V

Sea v ∈ V y ε > 0. Como el subespacio S contiene líneas completas a través de 0, y S ≠ V pero S es un subespacio, S es no acotado y se aproxima a todo vector. En particular, ∀ε > 0 existe s ∈ S con ‖v − s‖ < ε, luego v ∈ S̄. ∎

Ejercicio 6

Sea ∅ ≠ A ⊂ ℝ acotado, α = sup A, β = inf A.

a) α, β ∈ Ā

Probamos α ∈ Ā (análogo para β). Sea ε > 0. Como α = sup A, existe a ∈ A tal que α − ε < a ≤ α, luego a ∈ (α − ε, α + ε) ∩ A ≠ ∅. Esto prueba que α ∈ Ā. ∎

b) Si A es abierto, entonces α, β ∉ A

Supongamos α ∈ A. Como A es abierto, existe ε > 0 con (α − ε, α + ε) ⊆ A. Pero entonces α + ε/2 ∈ A con α + ε/2 > α = sup A. Contradicción. Luego α ∉ A. Análogamente β ∉ A. ∎

Ejercicio 7

Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Mostrar que Ā es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.

Demostración: Sea F := ∩{ C : C es cerrado, A ⊆ C }.

• (Ā ⊆ F) Ā es un cerrado que contiene a A. Todo C cerrado con A ⊆ C satisface Ā ⊆ C. Luego Ā ⊆ F.
• (F ⊆ Ā) Ā es uno de los conjuntos en la intersección, luego F ⊆ Ā. ∎

Ejercicio 8

a) Si A° = B° = ∅ y A es cerrado, entonces (A ∪ B)° = ∅

Supongamos x ∈ (A ∪ B)°, es decir existe r > 0 con B(x, r) ⊆ A ∪ B. Sea U = B(x, r) ∩ Aᶜ. Como A es cerrado, Aᶜ es abierto, luego U es abierto. U ⊆ B, contradiciendo B° = ∅. ∎

b) Si A es abierto y B es cerrado, entonces A \ B es abierto y B \ A es cerrado

A \ B = A ∩ Bᶜ. Como A es abierto y Bᶜ es abierto, su intersección es abierta. B \ A = B ∩ Aᶜ. Como B es cerrado y Aᶜ es cerrado, su intersección es cerrada. ∎

Ejercicio 9

a) B̄(x, r) = {y : d(x,y) ≤ r} es cerrado

Su complemento es {y : d(x,y) > r}, que es abierto. ∎

Ejercicio 10

Sean (X, d) un espacio métrico, x ∈ X, ∅ ≠ A ⊆ X. Probar: x ∈ Ā ⟺ d(x, A) = 0.

Demostración: d(x, A) = inf{ d(x, a) : a ∈ A }.

• (⟹) Si x ∈ Ā, para todo ε > 0 existe a ∈ B(x, ε) ∩ A, luego d(x, a) < ε. d(x, A) = 0.
• (⟸) Si d(x, A) = 0, para todo ε > 0 existe a ∈ A con d(x, a) < ε, es decir B(x, ε) ∩ A ≠ ∅. Luego x ∈ Ā. ∎

Ejercicio 12

Sea (X, d) un espacio métrico discreto. Demostrar que todo ∅ ≠ A ⊆ X es abierto y cerrado.

En el espacio métrico discreto, B(x, 1/2) = {x}.

• Abierto: Para cada a ∈ A, B(a, 1/2) = {a} ⊆ A.
• Cerrado: Aᶜ también es abierto por el mismo argumento. ∎

Ejercicio 13

Sean (X, d) un espacio métrico y x ∈ X. Probar que {x} es cerrado.

Probaremos que {x}ᶜ = X \ {x} es abierto. Sea y ∈ X \ {x}, r = d(x, y) > 0. B(y, r) ⊆ X \ {x}. Por tanto, {x} es cerrado. Todo conjunto finito es unión finita de cerrados, luego es cerrado. ∎