Propiedades Fundamentales del Cálculo Diferencial y Álgebra Lineal

Repaso de Conceptos Clave en Cálculo y Álgebra Lineal

A continuación, se revisan afirmaciones sobre propiedades del cálculo diferencial y conceptos fundamentales del álgebra lineal, indicando su veracidad y proporcionando la justificación correspondiente.

Cálculo Diferencial: Propiedades de las Derivadas

1. Derivada de una Suma de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (f + g)(x) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$.

• Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales: $[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)$.

2. Derivada de un Producto de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (fg)(x) = [\frac{d}{dx} f(x)][\frac{d}{dx} g(x)]$, es decir, la derivada de un producto es igual al producto de las derivadas.

• Falso. La derivada del producto de dos funciones sigue la Regla del Producto: es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.

Fórmula correcta: $[f(x) \cdot g(x)]’ = g(x) \cdot f’(x) + f(x) \cdot g’(x)$.

Álgebra Lineal: Sistemas y Matrices

3. Ventajas de la Representación Matricial de Sistemas Lineales

La principal ventaja de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices es que, independientemente de cuál sea el número de ecuaciones, al expresarlo matricialmente, el sistema de ecuaciones se convierte en una única ecuación (matricial).

• Verdadero. Una de las principales ventajas de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices es que podemos expresar el sistema como una única ecuación matricial ($A\mathbf{x} = \mathbf{b}$). Esto nos permite utilizar técnicas de álgebra lineal para resolver el sistema de una forma más eficiente y sencilla.

4. Solución de Ecuaciones Matriciales $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

Si $A$ es una matriz conocida, $\mathbf{x}$ es un vector desconocido y $\mathbf{b}$ es otro vector conocido, entonces la ecuación matricial $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene como solución $\mathbf{x} = \mathbf{b}/A$.

• Falso. La división por una matriz no está definida de esa manera. La solución correcta implica el uso de la matriz inversa ($A^{-1}$), si existe:

Proceso correcto: $A\mathbf{x} = \mathbf{b} \implies A^{-1}A\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \implies I\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \implies \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

5. Definición de Matriz Simétrica

Decimos que una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta.

• Verdadero. Cuando una matriz es simétrica se cumple que $A = A^T$.

6. Existencia de la Matriz Inversa

Siempre existe la matriz inversa de una matriz.

• Falso. La matriz inversa solo existe para matrices cuadradas cuyo determinante sea distinto a cero (matrices no singulares). Si la matriz no cumple estas condiciones se dice que es singular o no invertible y no tiene matriz inversa.

7. Fórmula de la Matriz Inversa

La matriz inversa de una matriz viene dada por la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^T)$.

• Verdadero. La fórmula es correcta: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^T) = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^T$. Este resultado se conoce como la propiedad de la matriz adjunta traspuesta y se cumple para cualquier matriz cuadrada invertible.

Regresión Lineal

8. Interpretación del Coeficiente $\alpha$

El coeficiente $\alpha$ siempre tiene una interpretación razonable, sin importar cuál sea el rango de valores esperable en la variable independiente $X$.

• Falso. La interpretación del coeficiente $\alpha$ (intercepto) en un modelo de regresión depende del contexto del problema y de la forma funcional de la relación entre las variables. Si el valor $X=0$ está fuera del rango de datos observados o no tiene sentido práctico, $\alpha$ podría no tener una interpretación razonable o significativa en el contexto del fenómeno estudiado.