Propiedades de las Funciones y Fundamentos de Probabilidad

Características y Propiedades de las Funciones Matemáticas

A continuación, se detallan las propiedades fundamentales para estudiar y representar una función matemática.

1. Dominio

Conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida.

2. Recorrido o Imagen

Conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y).

3. Continuidad y Puntos de Discontinuidad

Una función es continua en su dominio si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Si presenta saltos o interrupciones, es discontinua. Los valores donde se rompe la gráfica se denominan puntos de discontinuidad (por ejemplo, en x=a).

4. Simetría

Una función puede presentar dos tipos de simetría:

• Par: Si f(x) = f(-x), la función es simétrica respecto al eje Y.
• Impar: Si f(-x) = -f(x), la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

5. Periodicidad

Una función f es periódica de período T si, para todo x de su dominio, se verifica que: f(x) = f(x + T). Esto implica que la gráfica se repite cada intervalo de longitud T.

6. Acotación

Una función está acotada superiormente si existe un número K tal que f(x) ≤ K para todo x del dominio. K es una cota superior. De forma análoga, está acotada inferiormente si existe un número k tal que f(x) ≥ k para todo x del dominio. k es una cota inferior.

7. Puntos de corte con los ejes

Son los puntos donde la gráfica de la función intersecta con el eje X (eje de abscisas) y el eje Y (eje de ordenadas).

8. Signo de la función

Consiste en estudiar en qué intervalos la función es positiva (f(x) > 0, la gráfica está por encima del eje X) o negativa (f(x) < 0, la gráfica está por debajo del eje X).

9. Crecimiento y Decrecimiento

Se puede estudiar mediante la Tasa de Variación Media (TVM) en un intervalo [a, b]: TVM[a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a).

• Si TVM > 0, la función es creciente en ese intervalo.
• Si TVM < 0, la función es decreciente en ese intervalo.

10. Máximos y Mínimos

Son los puntos más altos (máximos) y más bajos (mínimos) de la gráfica de la función, ya sea de forma local (en un entorno) o absoluta (en todo el dominio).

11. Asíntotas

Son rectas a las que la función se aproxima indefinidamente. Pueden ser:

• Verticales: de la forma x = a.
• Horizontales: de la forma y = k.
• Oblicuas: de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

Tipos de Funciones Comunes

• Función constante: f(x) = k. Su gráfica es una recta horizontal.
• Función lineal: f(x) = mx. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
• Función afín: f(x) = mx + n. Su gráfica es una recta. Si m > 0 es creciente, y si m < 0 es decreciente.
• Función de proporcionalidad inversa: y = k/x, con k ≠ 0. Su dominio y recorrido es ℝ - {0}. Presenta simetría impar y su gráfica es una hipérbola. Si k > 0 es decreciente en su dominio; si k < 0 es creciente.
• Funciones exponenciales: f(x) = a^x, con a > 0 y a ≠ 1. No cortan el eje X. Si a > 1 son crecientes; si 0 < a < 1 son decrecientes. Las funciones y = a^x e y = a^-x son simétricas respecto del eje Y. Las funciones y = a^x e y = -a^x son simétricas respecto del eje X.
• Funciones logarítmicas: y = log_a(x), con a > 0 y a ≠ 1. Cortan el eje X en x=1 y tienen el eje Y como asíntota vertical. Si a > 1 son crecientes; si 0 < a < 1 son decrecientes.

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Experimentos y Sucesos

En probabilidad, distinguimos dos tipos de experimentos:

• Experimento determinista: Aquel cuyo resultado se puede predecir con exactitud antes de realizarlo.
• Experimento aleatorio: Aquel en el que no se puede predecir el resultado y, al repetirlo en las mismas condiciones, se pueden obtener resultados distintos.

Tipos de Sucesos

• Elemental: Corresponde a cada uno de los resultados posibles del experimento.
• Compuesto: Formado por la unión de varios sucesos elementales.
• Imposible (∅): Aquel que no puede ocurrir nunca.
• Seguro (E): Aquel que ocurre siempre; coincide con el espacio muestral.
• Contrario (Ā): Formado por todos los sucesos elementales que no están en el suceso A.

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B): Ocurre cuando sucede A o sucede B. Está formado por todos los elementos de A y de B.
• Intersección (A ∩ B): Ocurre cuando sucede A y sucede B. Está formado por los elementos comunes a ambos sucesos.
• Diferencia (A - B): Ocurre cuando sucede A pero no sucede B. Formado por los elementos de A que no están en B.

Compatibilidad de Sucesos

• Sucesos compatibles: Dos sucesos son compatibles si tienen algún elemento en común (su intersección no es el suceso imposible).
• Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles si no tienen ningún elemento en común (su intersección es el suceso imposible).

Cálculo de Probabilidades

La probabilidad P(A) de un suceso A es un número que mide la posibilidad de que ocurra dicho suceso. Siempre cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1. Se define como el valor al que tiende la frecuencia relativa de A al repetir el experimento un número infinito de veces.

Regla de Laplace

Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso A se puede calcular con la Regla de Laplace:

P(A) = (Número de casos favorables a A) / (Número de casos posibles)

Sucesos Dependientes e Independientes

• Sucesos dependientes: Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro.
• Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro.

En un experimento compuesto, la probabilidad de un suceso formado por varios sucesos simples se calcula como el producto de las probabilidades de dichos sucesos, teniendo en cuenta si son dependientes o independientes.