Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... + f(x_n))

= aE(x) + b

Varianza (Var(x)): Valor medio de las discrepancias cuadráticas entre los posibles resultados de x y su valor medio (μ).

Var(x) = Σ (x_i - μ)² * f(x_i) = E(x²) - E(x)²

Propiedades de Linealidad de la Varianza:

Var(ax + b) = a² * Var(x)

Demostración:

Var(ax + b) = E((ax + b - (a * μ + b))²)

= E((ax + b - a * μ - b)²) = E((ax - a * μ)²)

= E(a²(x - μ)²) = Σ a²(x_i - μ)² * f(x_i)

= a² Σ (x_i - μ)² * f(x_i) = a² * Var(x)

Ejemplos: Distribución Binomial

X ~ Bi(1, p):

• E(x) = p
• Var(x) = p(1 - p)

X ~ Bi(2, p):

• E(x) = 2p
• Var(x) = 2p(1 - p)

Funciones de Densidad y Distribución (Variables Continuas)

Función de Densidad (f(x)):

• ∫_-∞^∞ f(x) dx = 1
• f(x) ≥ 0
• f(x) puede ser mayor que 1.

Función de Distribución (F(x)):

• F(x) = P(x ≤ x_i) = ∫_-∞^x f(u) du
• F(x) está entre 0 y 1.
• Es no decreciente: si a < b, entonces F(a) ≤ F(b).
• F(x) es continua si f(x) es continua.
• F'(x) = f(x) en los puntos donde f(x) es continua.

Esperanza (Variables Continuas):

E(ax + b) = ∫_-∞^∞ (ax + b) f(x) dx = a ∫_-∞^∞ x * f(x) dx + b ∫_-∞^∞ f(x) dx = aE(x) + b

Varianza (Variables Continuas):

Var(x) = ∫_-∞^∞ (x - μ)² * f(x) dx = E(x²) - E(x)²

Tipificación

z = (x - μ) / σ

• E(z) = 0
• Var(z) = 1

Distribución Uniforme

Si X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a, b]:

• f(x) = 1 / (b - a) para a ≤ x ≤ b, y 0 en otro caso.
• E(x) = (b + a) / 2
• Var(x) = (b - a)² / 12

Percentiles

El percentil p de x (x_p) es el valor tal que P(x ≤ x_p) = p / 100. Es decir, el valor de x por debajo del cual se encuentra el p% de los resultados.

x_p = F^-1(p / 100)

Covarianza y Combinaciones Lineales

Covarianza (Cov(x, y)):

Cov(x, y) = E((x - μ_x)(y - μ_y)) = E(xy) - E(x)E(y)

Combinaciones Lineales:

Si w = ax + by + c:

• E(w) = aE(x) + bE(y) +c
• Var(w) = a² * Var(x) + b² * Var(y) + 2ab * Cov(x, y)
• Si x e y son independientes: Var(w) = a² * Var(x) + b² * Var(y)