Propiedades y Aplicaciones del Kriging en Estimación Geoespacial

Estimación con Kriging

Propiedades Fundamentales del Kriging

• Insesgo: La media de los errores en una región grande tiende a cero (insesgo global).
• Interpolación Exacta: El ponderador del sitio con dato es 1 y el resto es 0.
• Actividad: El kriging de la ley de un bloque es equivalente al promedio de las estimaciones puntuales.
• Suavizamiento: La dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos. El histograma de los valores estimados por kriging presentará menos valores extremos que el histograma real de datos. Esto se debe a que el promedio generado elimina valores extremos, lo cual puede ser un problema en el ámbito minero para cuantificar inventarios de recursos. Para abordar esto, se recurre al kriging no lineal o a simulaciones.

Sesgo Condicional

El error promedio puede estar sesgado, especialmente en zonas de alta o baja ley. Generalmente, este sesgo es pequeño si se consideran muchos datos.

• Pocos datos: Alto sesgo condicional, poco suavizamiento. Gráfico con una línea cruzada a la pendiente.
• Muchos datos: Bajo sesgo condicional y alto suavizamiento. Línea más paralela a la pendiente.

Sesgo Condicional vs. Suavizamiento

La elección entre sesgo condicional y suavizamiento depende del uso específico:

• Estimación de tonelajes globales: Un sobresuavizamiento de la ley generará errores en los tonelajes y leyes, especialmente sobre una ley de corte. El sesgo es menos relevante a esta escala, pero sí a nivel local.
• Decisión estéril/mineral: No se puede aceptar sesgo condicional, ya que se espera que la ley estimada sea equivalente a la real localmente. El suavizamiento es el precio a pagar. Actualmente, se prefiere minimizar el sesgo condicional.

Datos para la Estimación: La Vecindad

La vecindad define el área donde se buscan datos útiles para la estimación. Existen dos tipos:

• Vecindad Única: Se utilizan todos los datos disponibles para estimar cada sitio. Esto aumenta significativamente el tiempo de cálculo sin mejorar la precisión.
• Vecindad Móvil: Se utilizan únicamente los datos más cercanos al sitio que se está estimando. Es necesario especificar la forma y el tamaño de la vecindad.

Plan de Kriging: Optimización de la Vecindad

El plan de kriging se enfoca en optimizar el tamaño de la vecindad móvil, buscando descartar datos con poca ponderación o datos redundantes.

• Forma: Se define mediante una elipse en 2D o un elipsoide en 3D.
• Tamaño (Radios de Búsqueda): Proporcionales a los alcances del variograma. Tamaños excesivamente grandes no son recomendables debido a la baja confiabilidad del variograma a grandes distancias.
• Orientación: Generalmente alineada con las direcciones principales de anisotropía del variograma.
• Número Máximo de Datos: Se especifica para controlar la complejidad del cálculo.

División en Sectores Angulares

Para mejorar la distribución de los datos utilizados en la estimación, la vecindad se puede dividir en sectores angulares.

Validación de las Estimaciones

Para evaluar la corrección de las estimaciones, se pueden utilizar datos históricos si la operación minera está en curso. En ausencia de estos, se emplean métodos como:

• Validación Cruzada: Se estima sucesivamente cada sitio con dato, utilizando todos los datos restantes.
• Jack Knife: La muestra se divide en dos partes, y se estima una parte a partir de la otra de forma iterativa.

Se estudia el error comparando el valor real conocido con el valor estimado.

Análisis del Proceso Kriging y Criterios de Validación

Tras la validación, se analiza el comportamiento del proceso kriging, incluyendo el sesgo global, el sesgo condicional, el modelo de variograma y la precisión de la estimación, para comparar diferentes planes y seleccionar el más adecuado.

Criterios de Validación Clave

• Media de los Errores y Errores Estandarizados: Deben ser cercanos a 0, indicando un estimador globalmente insesgado.
• Varianza de los Errores: Debe ser lo más baja posible, señalando un estimador preciso.
• Varianza de los Errores Estandarizados: Cercana a 1, lo que indica que el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre.

Nube de Dispersión

Una nube de dispersión comparando los valores estimados (eje X) con los valores reales (eje Y) es útil. La pendiente de la regresión debe aproximarse a la línea diagonal (y=x), lo que indica un estimador condicionalmente insesgado.