Propagación de Ondas Electromagnéticas en Medios Dieléctricos y Conductores

Propagación de Ondas Planas Uniformes

1. Onda Eléctrica Transversal en Medio Sin Pérdidas

Una onda tiene la siguiente expresión para el campo eléctrico $\mathbf{E}$:

$$\mathbf{E} = \mathbf{a}_y 50 \cos(\omega t - kz) + \mathbf{a}_x 20 \sin(\omega t - kz)$$

La onda se propaga en un medio de características $\mu = \mu_0$ y $\epsilon = 2\epsilon_0$. Donde $\omega = 3\pi \times 10^6$ rad/s.

Determinación de Parámetros

• Longitud de onda ($\lambda$)
• Velocidad de fase ($\mathbf{U}_p$)
• Campo magnético ($\mathbf{H}(t)$)

Solución:

La constante de propagación $k$ (rad/m) se define como:

$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \omega \sqrt{\mu\epsilon} = \frac{\omega}{\mathbf{U}_p}$$

Sabiendo que la velocidad de la luz es $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$, la velocidad de fase es:

$$\mathbf{U}_p = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$$

Calculamos $k$:

$$k = \frac{\omega}{\mathbf{U}_p} = \frac{3\pi \times 10^6}{2.12 \times 10^8} \approx 0.044 \text{ rad/m}$$

Y la longitud de onda $\lambda$:

$$\lambda = \frac{2\pi}{k} \approx 141.42 \text{ m}$$

La impedancia intrínseca $\eta$ del medio es:

$$\eta (\Omega) = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{2\epsilon_0}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{2}} \approx 266.57 \Omega$$

Donde $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 120\pi \Omega$.

El campo magnético $\mathbf{H}$ en fasor se obtiene mediante la relación:

$$\mathbf{H} = \frac{1}{\eta} (\mathbf{a}_k \times \mathbf{E})$$

Donde $\mathbf{a}_k = \mathbf{a}_z$ (dirección de propagación).

El campo eléctrico en fasor es (considerando que $\sin(\omega t - kz) \rightarrow \text{Re}\{ -j e^{-j k z} e^{j \omega t} \}$):

$$\mathbf{E} = \mathbf{a}_y 50 e^{-j k z} + \mathbf{a}_x 20 e^{-j k z} e^{-j\pi/2}$$

Por lo tanto, $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{E})$.

2. Determinación de Frecuencia y Campo Eléctrico

Una onda electromagnética se propaga en un medio de características $\mu = \mu_0$, $\epsilon = 2.5\epsilon_0$. El campo magnético es:

$$\mathbf{H}(z,t) = \mathbf{a}_y 0.5 \cos(\omega t - 3z)$$

Determinación de Parámetros

• Frecuencia ($f$)
• Campo eléctrico ($\mathbf{E}(z,t)$)

Solución:

De la expresión de $\mathbf{H}$, se tiene que la constante de propagación es $k = 3$ rad/m.

$$k = \omega \sqrt{\mu\epsilon} = \omega \sqrt{\mu_0 (2.5\epsilon_0)}$$

Despejando $\omega$:

$$\omega = \frac{k}{\sqrt{2.5\mu_0\epsilon_0}} \approx 5.69 \times 10^8 \text{ rad/s}$$

La frecuencia $f$ es:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} \approx 90 \times 10^6 \text{ Hz} = 90 \text{ MHz}$$

La impedancia intrínseca $\eta$ es:

$$\eta (\Omega) = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{2.5\epsilon_0}} \approx 238.43 \Omega$$

El campo eléctrico $\mathbf{E}$ se relaciona con $\mathbf{H}$ mediante $\mathbf{E} = -\eta (\mathbf{a}_z \times \mathbf{H})$. Dado que $\mathbf{H}$ está en dirección $\mathbf{a}_y$ y la propagación es $\mathbf{a}_z$, $\mathbf{E}$ debe estar en dirección $\mathbf{a}_x$.

$$\mathbf{E} = \mathbf{a}_x E_x$$

Donde $E_x = \eta H_y$. En fasor:

$$\mathbf{E} = \mathbf{a}_x (238.43) (0.5) e^{-j3z}$$

En el dominio del tiempo:

$$\mathbf{E}(z,t) = \mathbf{a}_x (238.43 \times 0.5) \cos(\omega t - 3z)$$

3. Propagación en Medios con Pérdidas (Conductores)

3.1. Determinación de Profundidad de Penetración e Impedancia Intrínseca

Una onda electromagnética se propaga en un medio con $\mu = \mu_0$, $\epsilon = 2\epsilon_0$, y conductividad $\sigma = 4 \text{ S/m}$. Para $z=0$, el campo eléctrico es $\mathbf{E} = \mathbf{a}_y 50 \cos(2\pi 10^7 t + \pi/3)$.

Determinación de Parámetros

• Profundidad de piel ($\delta$)
• Impedancia intrínseca ($\eta_c$)
• Campo magnético ($\mathbf{H}(t)$)

Solución:

Primero, verificamos el tipo de medio. $\omega = 2\pi f = 2\pi 10^7 \text{ rad/s}$.

$$\frac{\sigma}{\omega\epsilon} = \frac{4}{(2\pi 10^7) (2\epsilon_0)} \gg 1$$

El medio es un Buen Conductor.

La profundidad de piel $\delta$ es $\delta = 1/\alpha$. Para un buen conductor, $\alpha \approx \beta$:

$$\alpha = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} = \sqrt{\frac{(2\pi 10^7) \mu_0 (4)}{2}} \approx 12.57 \text{ Np/m}$$

$$\delta = \frac{1}{\alpha} \approx 0.079 \text{ m}$$

La impedancia intrínseca compleja $\eta_c$ es:

$$\eta_c = (1+j) \sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} = (1+j) \frac{\alpha}{\sigma} \approx 3.14 + 3.14j \Omega$$

En forma polar: $\eta_c \approx 4.44 e^{j\pi/4} \Omega$.

El campo eléctrico en fasor en $z=0$ es $\mathbf{E}(z=0) = \mathbf{a}_y 50 e^{j\pi/3}$.

El campo eléctrico propagado es $\mathbf{E}(z) = \mathbf{a}_y E_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$. Como es buen conductor, $\alpha = \beta$:

$$\mathbf{E}(z) = \mathbf{a}_y 50 e^{j\pi/3} e^{-12.57 z} e^{-j 12.57 z}$$

El campo magnético $\mathbf{H}$ es $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta_c} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{E})$. La dirección es $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_y = -\mathbf{a}_x$.

$$\mathbf{H}(z) = -\mathbf{a}_x \frac{50}{4.44 e^{j\pi/4}} e^{j\pi/3} e^{-12.57 z} e^{-j 12.57 z}$$

La fase total es $\phi_H = \pi/3 - \pi/4 = \pi/12$.

En el dominio del tiempo:

$$\mathbf{H}(t) = -\mathbf{a}_x \left(\frac{50}{4.44}\right) e^{-12.57 z} \cos(\omega t - 12.57 z + \pi/12)$$

3.2. Cálculo de Distancia de Atenuación en Conductor

Una onda electromagnética se propaga en un medio con $\mu = \mu_0$, $\epsilon = 1.5\epsilon_0$, $\sigma = 70 \text{ S/m}$ con $f = 200 \text{ MHz}$. El fasor del campo $\mathbf{E}$ en $z=0$ es $\mathbf{E} = \mathbf{a}_x 100 e^{j\pi/2}$.

Determinación de Parámetros

• Impedancia intrínseca ($\eta_c$)
• Velocidad de fase ($\mathbf{U}_p$)
• Campo magnético ($\mathbf{H}(t)$)
• Distancia ($z$) a la cual $\mathbf{E}$ disminuye un 20% de su valor inicial

Solución:

Verificación: $\omega = 2\pi f = 4\pi \times 10^8 \text{ rad/s}$. El medio es un Buen Conductor ($\sigma/(\omega\epsilon) \gg 1$).

La constante de atenuación $\alpha$ (y $\beta$) es:

$$\alpha = \beta = \sqrt{\pi f \mu \sigma} = \sqrt{\pi (200 \times 10^6) \mu_0 (70)} \approx 235.095 \text{ Np/m}$$

La impedancia intrínseca $\eta_c$ es:

$$\eta_c = (1+j) \frac{\alpha}{\sigma} \approx 4.75 e^{j\pi/4} \Omega$$

La velocidad de fase $\mathbf{U}_p$ es:

$$\mathbf{U}_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{4\pi \times 10^8}{235.095} \approx 5.34 \times 10^6 \text{ m/s}$$

El campo eléctrico propagado es $\mathbf{E}(z) = \mathbf{a}_x 100 e^{j\pi/2} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$.

El campo magnético $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta_c} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{E})$. La dirección es $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_x = \mathbf{a}_y$.

$$\mathbf{H}(z) = \mathbf{a}_y \frac{100}{\eta_c} e^{j\pi/2} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$$

Sustituyendo $\eta_c = 4.75 e^{j\pi/4}$:

$$\mathbf{H}(z) = \mathbf{a}_y \left(\frac{100}{4.75}\right) e^{j\pi/2} e^{-j\pi/4} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} = \mathbf{a}_y \left(\frac{100}{4.75}\right) e^{j\pi/4} e^{-235.095 z} e^{-j 235.095 z}$$

En el dominio del tiempo:

$$\mathbf{H}(t) = \mathbf{a}_y \left(\frac{100}{4.75}\right) e^{-235.095 z} \cos(\omega t - 235.095 z + \pi/4)$$

Para la atenuación, la amplitud del campo eléctrico es $E' = E_0 e^{-\alpha z}$. Queremos que $E'$ disminuya un 20%, es decir, $E' = 0.8 E_0$:

$$0.8 E_0 = E_0 e^{-\alpha z}$$

$$\ln(0.8) = -\alpha z$$

$$z = \frac{-\ln(0.8)}{235.095} \approx 9.5 \times 10^{-4} \text{ m}$$

4. Dieléctrico con Pequeñas Pérdidas

Una onda plana uniforme de $f = 3 \text{ GHz}$ polarizada en $\mathbf{a}_y$ se propaga en dirección $+\mathbf{a}_x$ en un medio no magnético ($\mu = \mu_0$) con $\epsilon_r = 2.5$ y $\tan\delta = 0.05$. Suponiendo $\mathbf{E}(x=0) = \mathbf{a}_y 50 \sin(6\pi 10^9 t + \pi/3)$.

Determinación de Parámetros

• Distancia ($x$) a la cual la amplitud se reduce a la mitad
• Impedancia intrínseca ($\eta_c$)
• Longitud de onda ($\lambda$)
• Velocidad de fase ($\mathbf{U}_p$)
• Campo magnético ($\mathbf{H}(t)$)

Solución:

El medio es un Dieléctrico con Pequeñas Pérdidas, ya que $\tan\delta = \epsilon''/\epsilon' = \sigma/(\omega\epsilon') = 0.05 \ll 1$.

La amplitud se reduce a la mitad cuando $0.5 E_0 = E_0 e^{-\alpha x}$.

$$\ln(0.5) = -\alpha x$$

Donde $\omega = 2\pi f = 6\pi \times 10^9 \text{ rad/s}$. $\epsilon' = 2.5\epsilon_0$. $\epsilon'' = 0.05\epsilon'$.

La constante de atenuación $\alpha$ para un dieléctrico de bajas pérdidas es:

$$\alpha \approx \frac{\omega\epsilon''}{2} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \approx 2.48 \text{ Np/m}$$

La distancia $x$ es:

$$x = \frac{-\ln(0.5)}{\alpha} \approx 0.279 \text{ m}$$

La impedancia intrínseca compleja $\eta_c$ es:

$$\eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \left(1 + j \frac{\epsilon''}{2\epsilon'}\right) = \sqrt{\frac{\mu_0}{2.5\epsilon_0}} (1 + j \frac{0.05}{2}) \approx 238.4 e^{j 0.025} \Omega$$

La constante de fase $\beta$ es:

$$\beta \approx \omega \sqrt{\mu\epsilon'} \left(1 + \frac{1}{8} \left(\frac{\epsilon''}{\epsilon'}\right)^2\right) \approx 99.42 \text{ rad/m}$$

La longitud de onda $\lambda$ es:

$$\lambda = \frac{2\pi}{\beta} \approx 0.063 \text{ m}$$

La velocidad de fase $\mathbf{U}_p$ es:

$$\mathbf{U}_p = \frac{\omega}{\beta} \approx 1.89 \times 10^8 \text{ m/s}$$

El campo eléctrico en fasor en $x=0$ (convirtiendo $\sin$ a fasor, que implica un retraso de $-\pi/2$ respecto al $\cos$):

$$\mathbf{E}(x=0) = \mathbf{a}_y 50 e^{j\pi/3} e^{-j\pi/2} = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/6}$$

El campo eléctrico propagado (dirección $+\mathbf{a}_x$):

$$\mathbf{E}(x) = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/6} e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/6} e^{-2.48 x} e^{-j 99.4 x}$$

El campo magnético $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta_c} (\mathbf{a}_x \times \mathbf{E})$. La dirección es $\mathbf{a}_x \times \mathbf{a}_y = \mathbf{a}_z$.

$$\mathbf{H}(x) = \mathbf{a}_z \frac{50}{\eta_c} e^{-j\pi/6} e^{-\alpha x} e^{-j\beta x}$$

Sustituyendo $\eta_c = 238.4 e^{j 0.025}$:

$$\mathbf{H}(x) = \mathbf{a}_z \left(\frac{50}{238.4}\right) e^{-2.48 x} e^{-j\pi/6} e^{-j 0.025} e^{-j 99.4 x}$$

En el dominio del tiempo (recordando que $\pi/6 \approx 0.5236$ rad):

$$\mathbf{H}(t) = \mathbf{a}_z \left(\frac{50}{238.4}\right) e^{-2.48 x} \cos(\omega t - 99.4 x - 0.55)$$

5. Ejemplo Adicional en Buen Conductor

Una onda electromagnética se propaga en dirección $+\mathbf{a}_z$. Para $z=0$, $\mathbf{E} = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/3}$. El medio tiene $\mu = \mu_0$, $\epsilon = 1.5\epsilon_0$, $\sigma = 70 \text{ S/m}$ y $f = 400 \text{ MHz}$.

Determinación de Parámetros

• Impedancia intrínseca ($\eta_c$)
• Velocidad de fase ($\mathbf{U}_p$)
• Campo magnético ($\mathbf{H}(z,t)$)

Solución:

Verificación: $\omega = 2\pi f = 8\pi \times 10^8 \text{ rad/s}$. El medio es un Buen Conductor ($\sigma/(\omega\epsilon) \gg 1$).

La constante de atenuación $\alpha$ (y $\beta$) es:

$$\alpha = \beta = \sqrt{\pi f \mu \sigma} = \sqrt{\pi (400 \times 10^6) \mu_0 (70)} \approx 332.5 \text{ Np/m}$$

La impedancia intrínseca compleja $\eta_c$ es:

$$\eta_c = (1+j) \frac{\alpha}{\sigma} \approx 6.72 e^{j\pi/4} \Omega$$

La velocidad de fase $\mathbf{U}_p$ es:

$$\mathbf{U}_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{8\pi \times 10^8}{332.5} \approx 7.56 \times 10^6 \text{ m/s}$$

El campo eléctrico propagado es:

$$\mathbf{E}(z) = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/3} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} = \mathbf{a}_y 50 e^{-j\pi/3} e^{-332.5 z} e^{-j 332.5 z}$$

El campo magnético $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta_c} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{E})$. La dirección es $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_y = -\mathbf{a}_x$.

$$\mathbf{H}(z) = -\mathbf{a}_x \frac{50}{\eta_c} e^{-j\pi/3} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$$

Sustituyendo $\eta_c = 6.72 e^{j\pi/4}$:

$$\mathbf{H}(z) = -\mathbf{a}_x \left(\frac{50}{6.72}\right) e^{-j\pi/4} e^{-j\pi/3} e^{-332.5 z} e^{-j 332.5 z}$$

La fase total es $\phi_H = -\pi/4 - \pi/3 = -7\pi/12$.

En el dominio del tiempo:

$$\mathbf{H}(z,t) = -\mathbf{a}_x \left(\frac{50}{6.72}\right) e^{-332.5 z} \cos(\omega t - 332.5 z - 7\pi/12)$$

6. Incidencia Normal de Ondas Planas

Una onda plana uniforme en aire ($\mu_0, \epsilon_0$) incide normalmente sobre un medio sin pérdidas ($\sigma = 0$) con $\epsilon_r = 2$ y $\mu_r = 8$. El campo eléctrico incidente es:

$$\mathbf{E}_i = \mathbf{a}_y 50 \sin(10^8 t - \beta z)$$

Determinación de Parámetros

• Campo eléctrico reflejado ($\mathbf{E}_r$)
• Campo magnético total transmitido ($\mathbf{H}_t$)
• Razón de onda estacionaria (SWR o $S$)
• Coeficiente de transmisión ($\tau$)

Solución:

Este problema requiere el cálculo de los coeficientes de reflexión y transmisión basados en las impedancias intrínsecas de los dos medios.