Programación no lineal (sin restricciones) y con restricciones de igualdad y desigualdad

Programación no lineal (sin restricciones)

1. Calculamos las derivadas parciales fx y fy
2. Obtenemos los puntos críticos: igualamos las derivadas parciales a 0 y sustituimos los valores de x e y en la otra derivada para obtener otro punto crítico
3. Calculamos el determinante de la matriz Hessiana H(x,y) = fxx fxy abajo fyx fyy y calculamos su determinante. Si el determinante es menor que 0, es un punto silla. Si es mayor que 0, calculamos las derivadas parciales fxx y si es mayor que 0 es un máximo relativo y si es menor que 0 es un mínimo relativo. Si es igual a 0, no hay información
4. Hemos hallado 2 puntos de inflexión (cuando la solución de sustituir en la derivada parcial es igual a 0) y un máximo/mínimo relativo que es el punto cuyo valor de la función objetivo es el resultado de la sustitución

Programación no lineal (con restricciones de igualdad)

1. Construimos el lagrangiano o función de Lagrange L(x,y;λ) = f(x,y) - λ(g(x,y) - c)
2. Calculamos las primeras derivadas parciales del lagrangiano Lx y Ly
3. Obtenemos los posibles puntos críticos condicionados: (i) Lx(x,y) = 0 (ii) Ly(x,y) = 0 (iii) g(x,y) = c. Despejamos λ de (i) y (ii) e igualamos. Despejamos x o y de la ecuación resultante y sustituimos en (iii). Esto nos dará un posible punto crítico condicionado
4. Calculamos gx(x,y). Si el resultado es distinto de 0, el punto cumple la condición de regularidad y es un punto crítico condicionado. Si el resultado tiene incógnitas, evaluamos y sustituimos los posibles puntos críticos en gx y gy. Si ninguno de los resultados es igual a 0, el punto cumple la condición de regularidad y es un punto crítico condicionado
5. Calculamos el determinante D(x,y) = Lxx Lxy gx. Si el determinante es mayor que 0, es un máximo local. Si es menor que 0, es un mínimo local. Hemos encontrado un máximo local condicionado en el punto con f() = a, el resultado de la sustitución en la función principal

Programación no lineal (con restricciones de desigualdad)

1. Construimos el lagrangiano o función de Lagrange L(x,y;λ) = f(x,y) - λ(g(x,y) - c)
2. Calculamos las primeras derivadas parciales del lagrangiano Lx y Ly
3. Obtenemos los posibles puntos críticos condicionados usando las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker: (i) Lx(x,y) = 0 (ii) Ly(x,y) = 0 (iii) g(x,y) = c (iv) α >= 0 si es maximizar (v) λ(g(x,y) - c)
4. Despejamos λ de (v) y obtenemos una ecuación del paréntesis. A λ = 0 le llamamos 1* y sustituimos en (i) y (ii) para ver si es aceptado. Si cumple (iv) y (iii), pasa a ser un posible punto crítico condicionado. 2* de la ecuación obtenida, despejamos λ de (ii) y lo sustituimos en (i) para obtener otra ecuación que es (vi)
5. Hacemos un sistema con la 2* y (vi) y sustituimos 2* en (vi). Si cumple las dos condiciones, es un punto crítico condicionado
6. Calculamos los autovalores de la matriz hessiana del lagrangiano. Si el determinante es igual a 0, la matriz hessiana es definida negativa y el punto crítico condicionado es un máximo local condicionado

Hacemos una tabla con los datos que nos dan y otra al lado con x11 x12 x13 y así. Luego multiplicamos y ponemos las condiciones <=. Por último, xij >= 0, donde i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4,5