Problemes d'Optimització i Geometria: Càlcul de Màxims i Mínims

Optimització: Resolució de Problemes de Màxims i Mínims

Per resoldre problemes d'optimització, seguim els següents passos:

1. Llegir bé l'enunciat i identificar les funcions implicades.
2. Unir les funcions en una sola, si és necessari.
3. Derivar la funció resultant.
4. Igualar la derivada a zero per obtenir els punts crítics (valors de x).
5. Representar els punts crítics a la recta real per buscar màxims i mínims.
6. Obtenir conclusions basades en els resultats.

Activitat 1: Suma de Quadrats Mínima

La suma de dos nombres no negatius és 36. Troba'ls per tal que la suma dels seus quadrats sigui la més petita possible.

• Sigui x el primer nombre.
• El segon nombre serà 36 - x.
• Volem que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

Per tant, la funció a minimitzar és: S(x) = x² + (36 - x)²

Calculem la derivada: S'(x) = 2x + 2(36 - x)(-1) = 2x - 72 + 2x = 4x - 72

Igualem a zero per trobar els punts crítics: 4x - 72 = 0 → 4x = 72 → x = 18

Representem x = 18 a la recta real i comprovem que correspon a un mínim. Els nombres són 18 i 18.

Activitat 2: Millor Collita de Taronges

Si un conreador planta 200 tarongers per hectàrea, el rendiment mitjà és de 300 taronges per arbre. Per cada arbre addicional que sembri, el conreador obtindrà 15 taronges menys per arbre. Quants arbres per hectàrea donaran la millor collita?

Volem que la collita sigui màxima.

• Collita = nombre d'arbres · nombre de taronges per arbre.
• Nombre d'arbres = 200 + x (on x és el nombre d'arbres addicionals).
• Nombre de taronges per arbre = 300 - 15x.

La funció de collita és: C(x) = (200 + x) · (300 - 15x) = 60000 - 3000x + 300x - 15x² = 60000 - 2700x - 15x²

Calculem la derivada: C'(x) = -2700 - 30x

Igualem a zero: -2700 - 30x = 0 → 30x = -2700 → x = -90

Representem x = -90 a la recta real i observem que, si reduïm en 90 el nombre d'arbres (plantant 110 en total), obtenim la millor collita.

Activitat 3: Diferència Mínima entre Nombres

Calcula dos nombres que sumin 10, tals que la resta d'un d'ells menys l'invers de l'altre sigui mínima.

• Sigui x i y els dos nombres.
• Sabem que x + y = 10, per tant, x = 10 - y.
• Volem minimitzar la funció: f(y) = x - 1/y = (10 - y) - 1/y.

Reescrivim la funció: f(y) = 10 - y - y⁻¹

Calculem la derivada respecte a y: f'(y) = -1 - (-1) · y⁻² = -1 + 1/y²

Igualem a zero: -1 + 1/y² = 0 → 1/y² = 1 → y² = 1 → y = ±1

Representem y = ±1 a la recta real i observem que y = 1 proporciona un valor mínim. En substituir y = 1 a l'equació inicial (x = 10 - y), obtenim x = 9. Els nombres són 9 i 1.

Activitat 4: Benefici Màxim d'Inversió

L'enunciat ens dona la funció de rendiment: R(x) = 0,002x² - 0,8x - 5. Determina el benefici màxim tenint en compte que disposem de 500 euros per invertir.

Calculem la derivada de la funció de rendiment: R'(x) = 0,004x - 0,8

Igualem a zero: 0,004x - 0,8 = 0 → 0,004x = 0,8 → x = 0,8 / 0,004 → x = 200

Representem x = 200 a la recta real i observem que la funció disminueix de 0 a 200 i augmenta de 200 a 500. Per obtenir el màxim benefici, cal invertir 500 euros (el límit superior del rang d'inversió, ja que la funció és creixent a partir de x=200).

El benefici obtingut invertint 500 euros és: R(500) = 0,002(500)² - 0,8(500) - 5 = 0,002(250000) - 400 - 5 = 500 - 400 - 5 = 95 euros.

Geometria: Càlcul d'Àrees i Volums

Repàs de fórmules bàsiques de geometria:

• Cercle: Àrea = π · R², Perímetre = 2π · Radi
• Quadrat: Àrea = c², Perímetre = 4 · c
• Rectangle: Àrea = x · y, Perímetre = 2x + 2y
• Capsa (Prisma Rectangular): Volum = x (base) · y (costat) · z (alçada)

Activitat 5: Volum Màxim d'una Capsa

Tenim una làmina rectangular de 80x50 cm i hem de tallar quadrats idèntics dels vèrtexs per formar una capsa sense tapa. Quin ha de ser el costat dels quadrats tallats per obtenir el màxim volum?

Sigui x el costat dels quadrats tallats.

• Les dimensions de la base de la capsa seran: (80 - 2x) i (50 - 2x).
• L'alçada de la capsa serà: x.

La funció de volum és: V(x) = (80 - 2x) · (50 - 2x) · x

Expandim la funció: V(x) = (4000 - 160x - 100x + 4x²) · x = (4000 - 260x + 4x²) · x = 4000x - 260x² + 4x³

Calculem la derivada: V'(x) = 4000 - 520x + 12x²

Igualem a zero: 12x² - 520x + 4000 = 0

Resolem l'equació de segon grau i obtenim dos resultats (x = 10 i x = 100/3). Els representem a la recta real i, avaluant punts intermedis dins del domini (0 < x < 25), observem que x = 10 cm correspon a un màxim.

Activitat 6: Àrea Màxima d'un Solar Rectangular

Es disposa de 400m de filat per tancar un solar rectangular. Quina dimensió ha de tenir el solar perquè amb aquest filat tingui la major àrea possible?

• Sigui x i y les dimensions del rectangle.
• El perímetre és 400m: 2x + 2y = 400 → x + y = 200 → y = 200 - x.
• Volem maximitzar l'àrea: A = x · y.

La funció d'àrea és: A(x) = x · (200 - x) = 200x - x²

Calculem la derivada: A'(x) = 200 - 2x

Igualem a zero: 200 - 2x = 0 → 2x = 200 → x = 100

Representem x = 100 a la recta real i observem que correspon a un màxim. Per tant, les dimensions del solar per obtenir la major àrea possible són x = 100m i y = 200 - 100 = 100m, és a dir, un quadrat de 100x100m.