Problemes de Geometria a l'Espai: Rectes i Plans

Solucions d'un sistema d'equacions lineals

En un sistema hi ha, entre d'altres, aquestes dues equacions: x+2y-3z=5 i 2x+4y-6z=-2. Què podem dir de les solucions del sistema?

Posició relativa de pla i recta amb paràmetre

Donats el pla π: 5x+y+3z=4 i la recta r: ax-y=2 i 2y+z=-3, estudieu-ne la posició relativa en funció del paràmetre a.

Pla perpendicular a recta i distància a l'origen

Determineu l'equació del pla perpendicular a la recta r: x-y-1=0 i x+z+2=0, que passa pel punt (1,1,2). Quina distància hi ha d'aquest pla a l'origen de coordenades?

Distància entre recta i pla

Trobeu la distància entre la recta r: x-3/2= y-1/-3= z+2/3 i el pla π: 2x-3y+3z+5=0.

Consideració de la recta r

Considereu la recta r: x+4/-2= y-1/-1= z-

Punts en un sistema d'equacions lineals

Considerem els punts de l'espai A(1,1,0), B(0,1,2) i C(-1,2,1). Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d'un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites.

Rectes perpendiculars i que es tallen a R³

Considereu l'espai R³ les rectes r i s, les equacions respectives de les quals són: r(x,y,z)=(4,1,0)+ λ(m,1,1), s: x+2y+mz=0 i x+y+z=1 en què m és un paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d'aquest paràmetre per al qual les rectes siguin perpendiculars i es tallin.

Pla i recta perpendicular a l'origen

Donats els punts de l'espai A=(2,0,0), B=(0,1,0) i C=(0,0,3): a) Determineu l'equació del pla π que els conté. b) Calculeu l'equació de la recta r perpendicular al pla π i que passa per l'origen.

Posició relativa de rectes amb paràmetre

Siguin r i s dues rectes de l'espai les equacions respectives de les quals, que depenen d'un paràmetre real b, són les següents: r: bx+y+3z=1 i x+2y+5z=1, s: x/1=y-b/b+1=z+1/-1:

• a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d'equació x=0 i el punt de tall de la recta s amb aquest mateix pla.
• b) Calculeu un vector director per a cada una de les rectes.
• c) Estudieu la posició relativa de les dues en funció del paràmetre b.

Pla paral·lel a recta amb paràmetre

Determineu per a quins valors del paràmetre a el pla π: ax+2y+z=a és paral·lel a la recta r: x-ay+z=1 i ax+z=a+1.

Recta perpendicular a pla i punt simètric

Donats el pla π: x+2y-z=0 i el punt P=(3,2,1): a) Calculeu l'equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π.

Punts P, A i R

Siguin P=(3-2a, b-4), A=(a-1, 2+b,0) i R(3, -2, -2).

Recta que talla dues rectes i passa per un punt

Donades les rectes: r:x-2/1= y+1/2= z/-1, s: x-1/1= y+7/2= z+5/3 i el punt P=(1,1,-1), volem trobar l'equació de la recta que passa per P tallant a r i s. Per aconseguir-ho, es demana:

Punt, pla i recta

Donats el punt P=(7,5,1), el pla π: x-2y-3z=10 i la recta: 3x-2y+2z=7 i x-6y-2z=5:

Rectes coplanàries i relació entre paràmetres

Les rectes r1: x-a/2= y/1= z+1/4 i r2: x+2/1= y-b/2= z-4/-1 són coplanàries:

• a) Expliqueu, raonadament, quina és la seva posició relativa.
• b) Trobeu la relació que hi ha entre els paràmetres a i b.
• c) Trobeu els valors de a i b si el pla que les conté passa pel punt P=(2,4,6).

Plans amb paràmetre real

A l'espai es consideren els tres plans d'equacions respectives: π1: x+2y+z=1, π2: px+y+pz=1 i π3: px+y+2z=1 on p és un paràmetre real.

Recta paral·lela a un pla

Comproveu que la recta que passa pels punts A=(4,0,0) i B=(0,2,2) és paral·lela al pla d'equació x-3y+5z=2.

Recta paral·lela que talla dues rectes

Una recta r és paral·lela a la recta s: x-1=y-1= z-1, talla en un punt A a la recta t: x-1/3= y/2= z+1 i en un punt B a la recta l: x-2/2= y-1/2= z/3.

Pla paral·lel a recta amb paràmetre (repetit)

Determineu per a quins valors del paràmetre a el pla π: ax+2y+z=a és paral·lel a la recta r: x-ay+z=1 i ax+z=a+1.

Recta i pla amb paràmetre

Considereu la recta r: 2x-5y-z-3=0 i x-3y-z-2=0 i el pla p: 2x-y+az+2=0 on a és un paràmetre.

Pla i punt P

Sigui π el pla d'equació x-y+2z=3 i P el punt (1,1,0).

Recta paral·lela que passa per un punt

Calculeu l'equació de la recta paral·lela a la recta r: x+y-z=0 i 2x-y+z=1 que passa pel punt (0,1,0).

Punts A, B i C a l'espai

Considereu els punts de l'espai A(0,0,1), B(1,1,2) i C(0,-1,-1).

Vectors a R³ amb paràmetre

Considereu els vectors de R³: v1=(-1,3,4), v2=(2,-1,-3) i v3=(1, 2k+1, k+3).

Punts A i B

Donats els punts A=(1,0,0) i B=(0,0,1) es demana.

Quatre punts a l'espai

Tenim quatre punts a l'espai: A(0,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0) i D(2,0,0). Es demana.

Rectes r i s

Considereu les rectes r: x-2/-2= y+1/1= z/-2 i s: x=1+3t, y= -1-4t i z= 5+t.

Rectes r i s amb equacions

Considereu les rectes r i s amb les equacions següents: r: x+y+3=0 i 2x+z+2=0, s: y+1/3=0 i x+2z+3=0.

Punt P i recta r

Considereu el punt P=(5,-2,9) i la recta r: x-1/-2= y+1/-3= z/6.

Vector perpendicular a pla

a) n=(1,2,3) és un vector perpendicular al pla π que, en passar per P=(2,1,1), té les equacions:

Punts A, B i C amb paràmetre

Considereu els punts de l'espai A=(0,-2a-1,4a-2), B=(1,-3,4) i C=(3,-5,3).

Plans amb paràmetre

Considereu els plans d'equacions: π1: x+2y-z=3 i π2: ax+(a-2)·y+2z=4.