Problemas resueltos de matrices, sistemas, optimización y cálculo con soluciones detalladas

Problema 1

1) Tres hombres suman en total 85 años. Dentro de 5 años la suma de sus edades será igual a la suma que tienen en la actualidad los dos menores; pero dentro de dos años el mediano tendrá la mitad de la suma de las edades actuales del pequeño y del mayor. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución:

Llamemos

Problema 2

2) Determinar la matriz A que verifica la ecuación A - 2B = AB', donde B = y B' representa la matriz traspuesta de B.

Solución:

Se trata de resolver: A - 2 = A ; es decir:

A - A = A - = A =

de forma que A =

= =

Problema 3

3) Analizar el sistema

Solución:

El sistema puede escribirse en la forma matricial:

=

Rango: Rang(A) -> = -14. Ran(A) = 3 = Ran(AB).

Se trata de un sistema compatible y determinado, cuya solución es:

x = = ; y = = ; z = = 0

Problema 4

4) En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 29 bidones de aceite de girasol y 40 bidones de aceite de oliva. Además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es 10 € y uno de girasol es de 5 €, ¿cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? ¿Y para que el gasto sea máximo?

Soluciones:

Sea:

Se trata de maximizar o minimizar la función objetivo: f(x,y) = 10x + 5y

sometida a las restricciones:

El valor de la función objeto en dichos puntos es:

f(A) = 490    f(B) = 580    f(C) = 1000    f(D) = 1300

Así, para que el gasto sea mínimo debemos almacenar 29 bidones de aceite de oliva y 40 de girasol, mientras que para que el gasto sea máximo debemos almacenar 110 bidones de aceite de oliva y 40 de girasol.

Problema 1 (segunda parte)

1) Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en 3 urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C.

Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.

Solución:

Sea:

Antes de resolver el sistema simplificamos la segunda ecuación:

Problema 2 (segunda parte)

2) Dada la matriz A =

a) Hallar su inversa

b) Resolver la ecuación X A + 5A =

Solución:

a) A = =

b) X = - 5 X = - 5

X =

X =

Problema 3 (segunda parte)

3) a) Representar gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:

b) Determinar los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.

c) Calcular el punto donde alcanza el mínimo la función f(x,y) = 3x - y y encontrar dicho valor mínimo.

Solución:

b) A = --> A (1,1)     B = --> B (2, )

    C = --> C (4,-1)     D = --> D (3,-2)

c) f(A) = 2    f(B) = 4,5    f(C) = 13    f(D) = 11. El mínimo se alcanza en el punto A(1,1) con un valor de 2.

Problema 4 (segunda parte)

4) La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros y, de una empresa vienen dadas por esta función de los años de existencia x de la misma:

Y =

a) ¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas?

b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuánto ascienden éstas?

Solución:

a) La empresa tiene pérdidas mientras la función sea negativa. Como 'x' son los años de existencia de la empresa, no puede ser negativa; luego la función tendrá pérdidas cuando sea negativo el numerador, es decir, cuando 5 + 20x - 25 , es decir cuando pase el primer año (x = 1).

b)

que se anula cuando se anula el numerador, es decir:

Como la función es creciente a la izquierda de 7 y decreciente a su derecha, en x = 7 hay un máximo y el máximo beneficio obtenido será:

Problema 5

5) a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f(x) = en el intervalo [1,4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos.

b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de esta función:

f(x) =

Solución:

a) F'(x) = 3x - 12x + 9 que se anula para y en x = 3 hay un mínimo. F(1) = F(4) = 5; en x = 4 también hay un máximo.

b) La función es continua dentro de los intervalos y en el punto de salto:

Luego la función es continua en todo el intervalo [0,4].

Nota: Se han corregido la ortografía, la puntuación y la presentación para mejorar la legibilidad y la indexación SEO, manteniendo íntegro el contenido matemático y todas las imágenes indicadas con sus marcadores %IMAGE_%.