Problemas resueltos de matemáticas: perímetro, mezclas, triángulos y edades

Problemas resueltos: perímetro, mezcla, triángulos y edades

1. Aumento del lado de un cuadrado y variación del perímetro

Enunciado corregido: Aumentamos el lado de un cuadrado en 8 cm; el perímetro se triplica. ¿Cuál era el lado original?

Planteamiento y resolución:

• Perímetro inicial: 4x
• Perímetro final (lado aumentado en 8 cm): 4(x + 8)
• Condición: el perímetro final es el triple del inicial: 4(x + 8) = 3 · 4x = 12x

Resolvemos la ecuación:

4(x + 8) = 12x → 4x + 32 = 12x → 32 = 8x → x = 4 cm

Respuesta: El lado original del cuadrado medía 4 cm.

2. Mezcla de carnes: precio por kilo de la mezcla

Enunciado corregido: Se mezclan 50 kg de carne a 4,2 €/kg con 25 kg de carne a 7 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de la mezcla?

Datos y cálculo:

• Coste de la primera carne: 50 kg · 4,2 €/kg = 210 €
• Coste de la segunda carne: 25 kg · 7 €/kg = 175 €
• Masa total = 50 + 25 = 75 kg
• Precio medio x: 75x = 210 + 175 = 385
• x = 385 / 75 = 5,133... €/kg

Respuesta: El kilo de la mezcla sale aproximadamente a 5,133 €/kg (5,13 €/kg redondeado a dos decimales).

3. Triángulo rectángulo con hipotenusa 10 cm y diferencia de catetos 2 cm

Enunciado corregido: Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 10 cm. Hallar los catetos sabiendo que su diferencia es de 2 cm.

Planteamiento:

• Sea b = x (cateto menor) y a = x + 2 (cateto mayor).
• Hipotenusa c = 10.
• Teorema de Pitágoras: a^2 + b^2 = c^2 → (x + 2)^2 + x^2 = 10^2.

Resolución:

(x + 2)^2 + x^2 = 100 → x^2 + 4x + 4 + x^2 = 100 → 2x^2 + 4x - 96 = 0.

Dividimos entre 2: x^2 + 2x - 48 = 0. Calculamos el discriminante: D = 2^2 - 4·1·(-48) = 4 + 192 = 196; sqrt(D) = 14.

x = (-2 ± 14)/2 → x = (12)/2 = 6 o x = (-16)/2 = -8 (rechazamos negativa).

Resultados: Cateto menor b = x = 6 cm; cateto mayor a = x + 2 = 8 cm.

4. Edad de Luis y de su madre

Enunciado corregido: La madre de Luis tiene el triple de la edad de Luis y dentro de 14 años tendrá el doble de la edad que entonces tendrá Luis. ¿Qué edades tienen ahora?

Planteamiento:

• Luis = x (años actualmente)
• Madre = 3x (años actualmente)
• Dentro de 14 años: Luis = x + 14; madre = 3x + 14
• Condición: 3x + 14 = 2(x + 14)

Resolución:

3x + 14 = 2x + 28 → 3x - 2x = 28 - 14 → x = 14.

Respuesta: Luis tiene 14 años y su madre 42 años.

5. Suma de tres números naturales consecutivos

Enunciado corregido: La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11. ¿Cuáles son esos números?

Planteamiento:

• Menor = x, medio = x + 1, mayor = x + 2.
• Suma: x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3.
• Condición: 3x + 3 = 5x - 11.

Resolución:

3x + 3 = 5x - 11 → 3 + 11 = 5x - 3x → 14 = 2x → x = 7.

Respuesta: Los números son 7, 8 y 9.

Repetición del mismo bloque (se conserva el contenido original, corregido)

1. Aumento del lado del cuadrado (repetición)

Enunciado corregido: Aumentamos el lado de un cuadrado en 8 cm; el perímetro se triplica. ¿Cuál era el lado original?

Planteamiento y resolución:

• Perímetro inicial: 4x
• Perímetro final: 4(x + 8)
• Condición: 4(x + 8) = 12x → 4x + 32 = 12x → 32 = 8x → x = 4 cm

Respuesta: x = 4 cm.

2. Mezcla de carnes (repetición)

Enunciado corregido: Se mezclan 50 kg de carne a 4,2 €/kg con 25 kg de carne a 7 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de la mezcla?

• Coste primera: 50 · 4,2 = 210 €
• Coste segunda: 25 · 7 = 175 €
• Total masa: 75 kg; 75x = 385 → x = 385/75 ≈ 5,133 €/kg

Respuesta: ≈ 5,133 €/kg.

3. Triángulo rectángulo (repetición)

Enunciado corregido: Hipotenusa 10 cm; diferencia de catetos 2 cm.

Resolución: Catetos 6 cm y 8 cm (véase la resolución anterior).

4. Edad de Luis y su madre (repetición)

Enunciado corregido: Madre tiene triple edad que Luis; dentro de 14 años tendrá el doble de la edad de Luis en ese momento.

Resolución: Luis = 14 años; madre = 42 años.

5. Suma de tres números consecutivos (repetición)

Enunciado corregido: La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos 11.

Resolución: Menor = 7, medio = 8, mayor = 9.